挖掘隐含的不等关系解决问题

余丹丹

其实现实生活中同类量之间的不等关系比相等关系更为普遍，不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是初中生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础. 有些实际问题中有明确的表示不等关系的文字，如“超过”、“不足”、“少于”、“不到”等，这种类型问题的不等关系非常明显，只需要把这样的文字转化为数学符号，就可以列出不等式或不等式组. 但更多的实际问题中没有明确的表示不等关系的文字，那么哪些文字隐含着不等关系，如何挖掘题中隐含的不等关系，列不等式或不等式组解决实际问题呢？现举例如下：

一、 根据实际问题的要求建立不等关系

例1 抗洪抢险，向险段运送物资，共有120千米原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50千米后，后半小时速度多大才能保证及时送到？

【分析】题目中的要求是保证及时送到，所隐含的不等关系是：前半小时和后半小时走的路程之和至少应该是120公里，抓住了这个不等关系就可以建立不等式.

解：设后半小时的速度为x千米/小时，50+12x≥20，

解得x≥140.

答：后半小时速度至少为140千米/小时才能保证及时送到.

同类练习1 一个工程队原定在10天内至少要挖掘600 m↑3的土方. 在前两天共完成了120 m↑3后，接到要求要提前2天完成掘土任务. 问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方？

同类练习2 用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大. 当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的12. 已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2 m，若铁钉总长度为a m，则a的取值范围是______.

二、 含在数学问题中的不等关系

例2 等腰三角形的周长为20，求腰长x的取值范围.

【分析】题目中涉及到的是三角形，因而隐含在题目里不等关系是三角形的两边之和大于第三边. 需要首先利用周长为20这一等量关系将等腰三角形的底边长表示出来，然后利用三角形的两边之和大于第三边列不等式.

解：∵等腰三角形的周长为20，腰长为x，

∴底边长为20-2x，根据题意得：2x>20-2x，

20-2x>0.

解得：5

同类练习3 若周长为1的四边形的四条边长为a、b、c、d且a≥b≥c≥d，求a的取值范围.

三、 实际问题中有“住不满”、“住不下”、“不空不满”、“盈利”、“亏损”等关键词

例3 某校八年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的几辆公共汽车. 如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满. 他们共租了多少辆公共汽车？

【分析】该题中的“不空也不满”就表示了不等关系. 那么如何表示“不空也不满”呢？根据题意分析，“不空也不满”表示最后一辆车坐的人数大于0人且小于30人. 最后一辆车若按0人算，则租的车少一辆，总数比213人少；若按30人算，则总人数大于213人. 所以该题有两个不等关系：30×（租车辆数-1）<213，

30×租车辆数>213.

解：设租x辆车. 根据题意得：30（x-1）<213，

30x>213.

解得：7110

∵x只能取正整数，

∴x=8.

答：他们共租了8辆汽车.

同类练习4 若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍不足8人，问学生有多少人？宿舍有几间？

（要注意题中“不足8人”的隐含意思就是不空也不满，包含的也是两个不等关系，这是分析本类问题时易忽略的问题. ）

同类练习5 如图，函数y=f（x）反映了某公司的销售收入y万元与销售x吨的函数关系，y=g（x）反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系.试问：当销售量为多少时，该公司盈利？

四、 设计方案

例4 在“5·12大地震”灾民安置工作中，某灾民安置点计划用24 000 m↑2的甲种板材和12 000 m↑2的乙种板材搭建A、B两种型号的板房共400间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材. 已知建一间A型板房和一间B型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：

板房型号＼&甲种板材＼&乙种板材＼&安置人数＼&A型板房＼&54 m↑2＼&26 m↑2＼&5＼&B型板房＼&78 m↑2＼&41 m↑2＼&8

问：这400间板房最多能安置多少灾民？

【分析】该题中要求能安置多少灾民，需要找到A、B两种板房的数量. 而这些数量既要满足题中共400间的等量关系，又要满足用材量不超过甲类原材总量24 000 m↑2，乙类原材总量12 000 m↑2这些不等关系. 这样若设A型板房x间，由等量关系可以表示B型板房为（400-x）间，由不等关系确定x的取值范围，再由总人数与x之间的函数关系确定x的取值.

解：设A型板房x间，则B型板房为（400-x）间，根据题意知：0≤x≤400，

54x+78（400-x）≤24 000，

26x+41（400-x）≤12 000.

解得：300≤x≤400，

∵安置的总人数为5x+8（400-x）=-3x+3 200，

∴当x取最小值300时，总人数最多为2 300人.

答：这400间板房最多能安置2 300名灾民.

同类练习6 北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供10台，上海可提供4台，已知重庆需要8台，武汉需要6台. 从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示（单位元），请你设计一种方案，使武汉、重庆都能得到所需要的仪器，且使运费最低.

＼&武汉＼&重庆＼&北京＼&400＼&800＼&上海＼&300＼&500

（注意该题中要求最低的运费，需要找到有北京、上海运往武汉、重庆的仪器的台数都有哪些可能. 而这些台数既要满足题中北京可提供10台，上海可提供4台，已知重庆需要8台，武汉需要6台的等量关系，又要满足由实际意义得到的保证送往重庆、武汉的台数大于等于0，这样若设由北京送往武汉x台，由等量关系可以表示出送往其他各地的台数，由不等关系确定x的取值范围，再由x只能取正整数确定x的取值. ）

总之，实际问题中暗含的不等关系，需要通过结合实际意义分析挖掘出不等关系，列出不等式或不等式组，一般设计方案的问题列出的是不等式组.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）