例析一元一次不等式的概念

孙玉根

一元一次不等式是初中阶段在一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，进一步探究现实世界数量关系的重要内容. 应用不等式的基本性质解一元一次不等式，是一项基本技能，也是学生以后学习函数、一元二次方程以及进一步学习不等式知识的基础. 数学课程标准对一元一次不等式内容的教学目标是“会解简单的一元一次不等式”和“解决简单的问题”. 下面通过例子将本章知识进行梳理.

一、 不等式的概念

用不等号（>，≥，<，≤，≠）表示不等关系的式子，叫做不等式. 在判断不等式时，需要严格按照不等式的定义.

例1 在数学表达式：①-3<0，②3x+5>0，③x↑2-6，④x=-2，⑤y≠0，⑥x+2≥x中，不等式的个数是（ ）.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【解析】对照定义即可解决，其中x+2 ≥ x是矛盾不等式，也属于不等式的一种. 故选C.

二、 不等式的性质

不等式的性质与等式的性质有相同之处也有不同之处，所以我们在学习时要注意. 不等式性质之一是：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a>b，那么a±c>b±c；性质之二是：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或ac>bc）. 性质之三是：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a>b，c<0，那么ac

例2 如果a>b，那么下列结论中，错误的是（ ）.

A. a-3>b-3

B. 3a>3b

C. a3>b3

D. -a>-b

【解析】不等式的性质是解不等式的关键，只有理解了不等式的性质才能正确求出不等式（组）的解集和解决与不等式有关的一些问题.利用不等式的基本性质（1）可知A正确；利用基本性质（2）可知B，C正确.故选D.

例3 学习了不等式的性质后，小明和小亮对3a>2a是否成立进行了争论. 小明说：“给 3a>2a的两边同时除以a，得3>2，因为3>2成立，所以3a>2a也一定成立.”小亮说：“这是不正确的.”你认为谁说的对？为什么？

【解析】当a>0时，在不等式3>2的两边同乘以a，根据性质2，不等号方向不改变，此时3a>2a；当a=0时，3a=2a=0；当a<0时，在不等式3>2的两边同乘以a，根据性质3，不等号方向改变，此时3a<2a.

【点评】本题考查不等式的性质，解决这类问题首先要分清不等式两边同时乘以的是正数还是负数，若是负数，不等号的方向一定要改变，其次就是掌握分类讨论的数学思想，对a进行正确的分类.

三、 一元一次不等式的概念

类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式. 从概念中我们不难发现是不是一元一次不等式必须满足三个条件：（1） 一个未知数；（2） 未知数次是1；（3） 左右两边均是整式.

例4 下列不等式中哪一个不是一元一次不等式（ ）.

A. x>3

B. -y+1>y

C. 1x>2

D. 2x>1

【解析】对照一元一次不等式的定义可知选C.

四、 一元一次不等式的的解和解集

一般地，能够使一元一次不等式成立的未知数的值叫做一元一次不等式的解；它的所有的解的全体叫做这个不等式的解集. 一元一次不等式的解集可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴来表示. 用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，有等号（≥，≤）画实心点，无等号（>，<）画空心圈.

例5 下列说法中，错误的是（ ）.

A. 不等式x<2的正整数解只有一个

B. -2是不等式2x-1<0的一个解

C.不等式-3x>9的解集是x>-3

D.不等式x<10的整数解有无数个

【解析】本题考查的是如何解不等式和求不等式整数解. 不等式x<2的正整数解为x=1；2x-1<0的一个解为x<12，-2在这个解集中；x<10的整数解有无数个，包括无数个负整数解、零和1到9这9个正整数解. 故选C.

例6 不等式2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）.

【解析】先解不等式，再在数轴上表示解集. 移项，合并，得2x≥2，将x的系数化为1，得x≥1，故选D.

五、 解一元一次不等式

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向. 解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将项的系数化为1. 当然我们在解不等式时，上面的五个步骤不一定都能用到，并且不一定按照顺序解，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.

例6 不等式2x+13-10x+16≥54x-5，并把它的解集在数轴上表示出来.

【解析】一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形. 所以去分母，得4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60；去括号，得8x-4-20x-2≥15x-60 ；项合并同类项，得-27x≥-54；系数化为1，得x≤2. 在数轴上表示解集如图所示：

六、 一元一次不等式的应用

列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要.

例7 甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每张椅子80元. 甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠. 现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）.

（1） 分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；

（2） 购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？

【解析】（1） 根据甲乙两厂家的优惠方式可知：甲厂家所需金额为：3×800+80（x-9）=1 680+80x；乙厂家所需金额为：（3×800+80x）×0.8=1 920+64x；

（2） 令甲厂家的花费大于乙厂家的花费得：1 680+80x>1 920+64x，解得：x>15. 答：购买的椅子至少16张时，到乙厂家购买更划算.

七、 一元一次不等式组的概念及解法

由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组就叫做一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集. 我们把求一元一次不等式组的解集的过程，叫做解一元一次不等式组. 当任何数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集. 那如何解一元一次不等式组呢？通常是先分别求出不等式组中各个不等式的解集；然后利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集. 有时我们也可以用不等式组公共解的一般规律来确定解集. 这个规律就是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了.

例8 解不等式组2x+1<-1，

3-x≥1.并将解集在数轴上表示出来.

【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.

【答案】2x+1<-1，①

3-x≥1.②

解不等式①得：x<-1，解不等式②得：x≤2，

所以不等式组的解集是：x<-1；在数轴上表示不等式组的解集，如图所示：

【总结】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式（组）的解集等知识点的理解和掌握. 能够根据不等式的解集找出不等式组的解集是解决此题的关键.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）