感悟“二元一次方程组”中的数学思想

仲玲玲

数学思想是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为学习能力的桥梁. 在二元一次方程组及其解法中，蕴含着丰富的数学思想，下面结合例题一起感受数学思想的无穷魅力.

一、 “消元”思想

消元思想是解方程组的基本思想，其实质就是由构成方程组的多个方程经过变形、代换、加减运算等，最终得到一个一元一次方程，解出一个未知数，再逐渐解出其他未知数，从而得到方程组的解. 深刻领会这一思想是灵活、简捷的解方程组的关键.

例1 求二元一次方程组

（1） x+2y=1，

3x-2y=11.

（2） x+y=34，

x=2y+1.的解.

【解析】（1） x+2y=1，①

3x-2y=11.②

根据方程组中y的系数互为相反数，

用加减消元法求解即可，①+②得，4x=12消去了未知数y， 解得x=3.

把x=3代入①得，3+2y=1，解得y=-1.

∴方程组的解是 x=3，

y=-1.

（2） x+y=34，①

x=2y+1.②

方程②中x恰好用y的代数式表示，

所以可将x=2y+1代入到方①中，

得到2y+1+y=34，从而消去了x，解得y=11.

把y=11代入②得，x=23，

∴方程组的解是x=23，

y=11.

【感悟】本题考查的是二元一次方程组的解法，当方程组中一个未知数的系数较小且可以由另一个未知数的整系数代数式表示出来时通常用代入消元法解比较简便，当某个未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法解较简单.

二、 “转化”的思想

转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法. 一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 解二元一次方程组中就渗透着这一类重要思想方法.

例2 已知x-3y+7z=0，

x-2y+4z=0.（xyz≠0）

则x∶y∶z=______.

【解析】此方程组中含有三个未知数，只有两个方程，是一个不定方程组，要直接解出三个未知数值，无法实现. 我们可以化“未知”为“已知”把它转化成关于x、y的二元一次方程组，字母z看作“已知数”来解决该问题.

解：x-3y+7z=0，①

x-2y+4z=0.②

由②-①得：y-3z=0，

∴y=3z，

把y=3z代入②，

解得：x=2z，

∴x∶y∶z=2∶3∶1.

【感悟】本题借助了转化的数学思想，化未知为已知，化三元为二元，化复杂为简单等一系列转化方法，从而很简捷的把问题解决，由此，我们可以发现转化是一种重要的思想方法，尤其把生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗等一系列转化，是我们学习数学，甚至在生活中都要经常使用的一种思维方法，这也是辩证唯物主义的基本观点.

总之，数学的精神和本质在于它的思想和方法，让我们一起感悟思想，体验思想，应用思想，提升解题的思维层次，最后让我们都能形成自觉应用数学思想解决问题的意识.