一题多解的数学价值

林柯

在高二数学课本“不等式”一章中关于不等式的证明，教材上列举了证明不等式的四种方法：公式法、比较法、数学归纳法及分析法.在实际应用过程中，只有这四种方法往往是不够的，还应通过实际例题向学生介绍反证法、放缩法、换元法及判别式法等常用的方法.另外还有几何法、构造函数法等方法.学生必须理解掌握这些思想方法，做题才能得心应手，游刃有余.

现举例说明：

例题：已知a，b，m∈R ，且a

求证： > .

证法1（比较法）：

因为a，b，m∈R ，a

所以 - = >0，故 > .

证法2（分析法）：

欲证 > ，由于a，b，m∈R ，aa（b+m），

即证am

证法3（综合法）：

能用分析法证明的题目，一般也能用综合法证明（略）.

证法4（反证法）：

假设 ≤ ，

因为a、b、m∈R ，

所以（a+m）b≤a（b+m），即bm≤am，

所以b≤a，这与题设a

所以假设不成立，故 > .

证法5（放缩法）：

因为a，b，m∈R ，a

所以 = = < = .

证法6（构造函数法）：

构造函数f（x）= （0

因为f（x）=1- 在[0，+∞]上是增函数，

所以f（m）>f（0），即 > .

注：利用函数单调性证明不等式具有优越性.高中实验教材已把微积分列入必修内容，用导数研究函数的单调性很方便，故对此法应予以高度重视.

证法7（增量法）：

因为a0），

所以 = = < = = .

证法8（斜率法1）：

在直角坐标系中， = 表示经过A（b，a）和B（-m，-m）两点所在直线的斜率，设其倾斜率为α，而 = 表示点A（b，a）和原点O（0，0）所在直线的斜率，设其倾斜角为β，如图1.

图1

由a .

证法9（斜率法2）：

在直角坐标系中，设A（b，a），B（m，m），则AB的中点C（ ， ），如图2.

图2

由于OA、OB、OC三线的斜率满足k

证法10（三角法）：

如图3，在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=a，AB=b，延长BA至E，BC至D，使CD=AE=m.

设CA、DE交于F，则有tan∠DEB= ，tan∠CAB= .

因为∠CAB<∠DEB，所以tan∠CAB

图3

练习（请读者完成以下两道题）

1.若a +b =1，x +y =1，求证：ax+by≤1.

2.已知a，b，c为直角三角形ABC的三边长，c是斜边，当n∈N，n≥3时，求证：a +b

从以上例题及练习的证法体验可知，一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解题思路.数学问题的解决应寻求多种解法，有利于拓宽解题思路，发展观察、想象、探索思维能力，进一步让人们感受到数学的神奇，数学的美，体现数学的价值.