循环小数的分数表示公式

谭婕 冯玉明

摘 要： 本文给出了循环小数的分数表示公式，由此公式我们很方便地得到任何循环小数的分数表示.

关键词： 分数 循环小数 表示

1.问题提出及准备知识

十进制的某个数，如果从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或几个数字，就叫做循环小数。这里的“数字”指的是1，2，3，…，9.

比如，3.333…，0.232323…都是循环小数。通常我们把3.333…记为3.3，表示在这个小数中“3”是循环数字；0.232323…记为0.23，表示“23”是循环数字.

我们都知道，分数很容易化为小数（可能是有限小数，也可能是循环小数）.

实数包括有理数和无理数，如果我们将有限小数看做是无限0循环小数，比如，0.2可以看做0.20，那么有理数集就是所有循环小数构成的集合，无理数集就是所有非循环小数构成的集合.

循环小数和分数可以互相表示，给定一个分数，我们可以很容易地得到一个循环小数；但是，给定一个循环小数，要由此得到一个分数，就不是那么简单了.

本文给出了循环小数的分数表示公式，由此公式我们可以很方便地得到任何循环小数的分数表示.

我们的证明需要用到以下引理.

引理2.1[1]a+aq+aq■+…+aq■+…=■，其中a，q∈R，|q|<1，这里R表示实数集.

2.主要结果

定理2.1？摇0.a■a■…a■=■，其中a■，a■，…，a■是0～9内的自然数，且a■≠0；这里分母上有n个9.

证明：0.a■a■…a■=0.a■+0.0a■+…+0.■a■+0.■a■

+0.■a■+…+0.■a■+…

=（0.a■+0.■a■+…）+（0.0a■+0.■a■+…）+

…（0.■a■+0.■a■+…）+…

=0.a■（1+0.■1+…）+0.0a■（1+0.■1+…）+

…+0.■a■（1+0.■1+…）+…

=0.a■·■+0.0a■·■+…+

0.■a■·■+…

=（0.a■a■…a■）·■=■.

3.例子

例3.1用分数形式表示下列循环小数

0.■，0.■■，0.■■■，0.■.

解：应用以上定理可以得到结论：

0.■=■=■；

0.■■=■

0.■■■=■=■

0.■=■=■

4.其他方法

下面以例子的形式给出一种简单的计算方法，以例3.1中的例子为例展示这种方法.

令a=0.■，那么

10a=3.■；

10a-a=3；

9a=3

从而

a=■.

同样道理，令b=0.■■，那么

100b=34.■■；

100b-b=34；

99b=34；

从而

b=■.

0.■■■=■以及 0.■=■=■也可以很容易地由这种方法得到.

5.结语

中学数学就提及有理数是分数构成的集合，有理数是循环小数构成的集合，但是很少有参考书给出分数与有理数的转化公式.本文给出了一個简单的转化公式，运用这个公式，任何循环小数，只要看一眼，就知道它的分数形式是怎么样的.我们的结果对中学数学教师有很好的参考价值.

参考文献：

[1]龚德恩等.经济数学基础（第四版）[M].四川人民出版社.