直线与圆锥曲线位置关系高考综合题初探

柏文峰

前言引入：直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了高中解析几何中直线，圆锥曲线两章的知识内容，还涉及函数、方程、不等式、三角函数、平面向量，平面几何等许多知识，形成了轨迹、最值、弦长、对称、范围、参系数等多种问题，对于考查学生的数学思维能力、计算能力、推理能力等是一个很好的平台，因而成为解析几何中综合性最强、能力要求最高的内容，也成为高考的重点和热点.

高考目标：掌握直线与圆锥曲线的位置关系，运用函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法，解决有关定点、定值、最值、参数范围等简单的实际问题等.

高考重点：直线与圆锥曲线中的弦长，面积，角度，最值、值域、参数范围问题，定点、定值，以及探究性问题等.

高考难点：圆锥曲线与三角、函数与方程、不等式、数列、平面向量等知识的综合应用.

要点梳理：

1.直线与圆锥曲线的位置关系

（1）直线与椭圆的位置关系的判定方法：

将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程ax■+bx+c=0（或ay■+by+c=0）.若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ=0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离.

（2）直线与双曲线的位置关系的判定方法：

将直线方程与双曲线方程联立，消去y（或x），得到一个一元方程ax■+bx+c=0（或ay■+by+c=0）.

①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ=0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离.

②若a=0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.

（3）直线与抛物线的位置关系的判定方法：

将直线方程与抛物线方程联立，消去y（或x），得到一个一元方程ax■+bx+c=0（或ay■+by+c=0）.

①当a≠0时，用Δ判定，方法同上.

②当a=0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点.

2.有关弦长问题

有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，简化运算.

（1）斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点p■（x■，y■），p■（x■，y■），则所得弦长|p■p■|=■|x■-x■|或|P■P■|=■|y■-y■|，其中求 |x■-x■|與|y■-y■|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：

|x■-x■|=■，

|y■-y■|=■.

（2）当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用两点间距离公式）.

3.弦的中点问题

有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，韦达定理，中点坐标公式“设而不求法”简化运算.

题型一：直线与圆锥曲线的位置关系

【例1】若曲线y■=ax与直线y=（a+1）x-1恰有一个公共点，求实数a的值.

解：联立方程y=（a+1）x-1y■=ax.

（1）当a=0时，此方程组恰有一组解为x=1y=0.

（2）当a≠0时，消去x，得■y■-y-1=0.

①若■=0，即a=-1，方程变为一元一次方程-y-1=0.

方程组恰有一组解x=-1y=-1，②若■≠0，即a≠1.

令△=0，得1+■=0，可解得a=-■，

这时直线与曲线相切，只有一个公共点.

综合上述可知，当a=0，-1，-■时，直线与曲线y■=ax恰有一个公共点.

探究提高：本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数■=0，即a=-1的可能性，从而漏掉两解.

本题用代数方法解完后，应从几何上验证：

①a=时，曲线y■=ax即为直线y=0，此时已知直线y=x-1恰有一个交点（1，0）；②当a=-1时，直线y=-1与抛物线y■=-x的对称轴平行，恰有一个交点（代数特证）.

题型二：圆锥曲线的弦长问题

【例2】已知△ABC的顶点A，B在椭圆x■+3y■=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l.

（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.

解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x，设A，B两点坐标分别为（x■，y■），（x■，y■），由x■+3y■=4y=x得x=±1，

所以|AB|=■|x■-x■|=2■，

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，于是h=■，

所以S■=■|AB|·h=2.

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m，

由x■+3y■=4y=x+m得4x■+6mx+3m■-4=0，因为A，B在椭圆上，所以△=-12m■+64>0，设A，B两点的坐标分别为（x■，y■），（x■，y■），则x■+x■=-■，x■x■=-■，所以|AB|=■|x■-x■=■，

又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=■，

|AC|■=|AB|■+|BC|■=-m■-2m+10=-（m+1）■+11，所以当m=-1时，AC边最长（这时△=-12+64>0），此时AB所在直线的方程为y=x-1.

探究提高：本例主要考查直线与二次曲线相交所得弦长问题的解法，弦长公式、整体代入等运算方法和运算技巧，解答此类问题要注意避免出现两种错误：（1）对直线l斜率的存在性不作讨论而直接设为点斜式，出现漏解或思维不会造成步骤缺失.（2）对二次项系数不为零或△≥0这个前提忽略而直接使用根与系数的关系.

题型三：圆锥曲线的弦中点问题

【例3】已知椭圆■+y■=1的左焦点为F，O为坐标原点.

（1）求过点O、F，并且與椭圆的左准线l相切的圆的方程；

（2）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

解：（1））∵a■=2，b■=1，∴c=1，F（-1，0），l：x=-2.∵圆过点O、F，

∴圆心M在直线x=-■上.设m（-■，t），则圆半径r=|（-■）-（-2）|=■，由|OM|=r，得■=■，解得t=±■，∴所求圆的方程为（x+■）■+（y±■）■=■.

（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入■+y■=1，整理得

（1+2k■）x■+4k■x+2k■-2=0，∵直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，∴方程有两个不等实根，记A（x■，y■），B（x■，y■），AB中点N（x■，y■），则x■+x■=-■.

∴AB的垂直平分线NG的方程为y-y■=-■（x-x■）

令y=0，得Xg=X■+ky■=-■+■=-■=-■+■

∵k≠0

∴-■

∴点G横坐标的取值范围为（-■，0）.

探究提高：直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的中点问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式，根与系数的关系，以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.

题型四：圆锥曲线的定点，定值及最值问题

【例4】直线y=kx+b与椭圆■+y■=1交于A、B两点，记△AOB的面积为S，（Ⅰ）求在k=0，0

解：（Ⅰ）设点A的坐标为（x■，b），点B的坐标为（x■，b），由■+b■=1，解得x■=±2■，所以S=■b·|x■-x■|=2b·■≤b■+1-b■=1，

当且仅当b=■时，S取到最大值1.

（Ⅱ）由y=kx+b■+y■=1得（k■+■）x■+2kbx+b■-1=0，

△=4k■-b■+1，

|AB|=■·|x■-x■|=■·■=2②

设O到AB的距离为d，则d=■=1，

又因为d=■，所以b■=k■+1，代入②式并整理，得k■-k■+■=0，

解得，k■=■，b■=■代入①式检验，△>0，

故直线AB的方程是y=■x+■，或y=■x-■，或y=-■x+■，或y=-■x+■.

探究提高：在探求最值时，常结合图像的几何直观，充分利用平几结论，借助函数的单调性或基本不等式或三角代换使问题得解.同时要注意未知数的取值范围及最值存在的条件.

总之，解决圆锥曲线的综合问题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，保证结果的完整.要做到这一点，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提高解决问题能力的目的.