基于多元表征的高职数学教学研究

郑虹婷

摘 要： 高职数学教育现面临困境，学生厌学情绪严重。本文首先剖析了多元表征的概念及其在教育上的功能，然后提出了高职数学的多元表征教学模式，并以极限教学为例阐述这一教学模式的教学过程。

关键词： 多元表征 高职数学教学 教学模式

中国高等职业教育从20世纪70年代后期发展至今已历经三十多年。在这三十多年发展过程中，数学课似乎已经处于尴尬地位。一方面，高职教育不同于职业培训与中职教育，培养的是高等技术应用型人才，因此必须具备高等人才的素养及今后在工作中发展的潜力，这就要求高职教育保留数学课程。另一方面，高职教育面对的学生与普通大学学生相比的“低”学习基础和“低”学习能力使得大多数的高职数学课堂教学效率低下，学生厌学，教师不愿教。数学课程在高职教育中成了一块名副其实的“鸡肋”，高职数学教学改革任重而道远。将前沿的教育心理学理论融入教学方法改革，寻求突破当前高职数学教学困境势在必行。

一、关于多元表征及表征方法

表征的研究是认知科学、教育等领域的热门话题，其中多元表征研究更是数学教育心理学国际研讨组（Intemational Group for the psychology of Mathematics Edueation，pME）的研究主题，PME专门成立了数学学习表征研究工作组，研究主题不仅包括关注实验情境中多元外在表征对学习影响的研究，近年来更重视在真实、日常教学情境中“从多元表征学习”（learning from multi-representatsons）和“用多元表征学习”（learning with multi-representations）等领域的研究。

研究表明：表征既是数学的一部分又是理解数学的手段[1]， 问题解决者的表征在他们解决问题中起关键作用[2]。表征成为解决数学 问题中问题解决者的思维工具或问题解决交流的理解表达， 成为问题解决者交流数学问题并解决问题的思维记录. 因此，可以认为表征水平影响甚至决定问题解决者的能力水平[3]。表征教学是指教师与学生在课堂上所使用的帮助他们解释概念、关系或关联及解题的表达。

尽管目前，各国研究者对表征的分类不相一致，但一般都将外部表征分为叙述性表征和描绘性表征两大类，叙述性表征的本质是抽象符号，如数学学习中的话语、文本、数学公式等；描绘性表征的本质是图像符号，如图片、图表、教具模型、实物情景、甚至用以传递动作与情感经验的各种手势、表情动作等[4]。而数学学习中的多元表征就是指对需要学习的某个数学对象，用叙述性表征和描绘性表征两类本质中的多种形式对其进行表征，使得这个数学对象中的表征形式丰富而多样，从而更容易被学习者接受，并且更深刻理解。

二、高职数学用运用多元表征教学模式

1.原有的多元表征教学模式

有研究者提出有效的初中代数思维教学程序是：先以问题或问题变式的提出激发学生的学习动机， 促使学生对问题涉及的知识内容的表征进行探究； 其次引导学生对表征进行变式， 形成多元表征， 得到初步理解； 然后将获得的符号表征应用于问题解决及其变式中， 使之化解于各种知识网络结构中， 强化对知识的深层理解； 最后， 通过对问题解决变式的探究， 在培养思维品质的同时， 形成代数知识内容的抽象表征， 即对代数核心思想、等价（ 非等价） 关系、 模式的理解和应用[3]。这种教学培养模式以抽象表征的获得作为数学知识获得的终结。

2.原有教学模式中的问题

原有多元表征的教学模式有一点是值得思考的，即描绘性表征是否是叙述性表征的低级表现形式？这个问题可以在数学教学中表述为：对于一个要学习的数学对象，学生已经掌握了其描述性表征，那么在此基础上是否能进一步抽象出其叙述性表征？反之，学生已经能对此对象进行叙述性表征是否能说明他已经能对此对象进行描述性表征。但是目前脑成像研究证明[5]，抽象概念加工与具体概念加工会分别激活不同的脑区。在Scorolli等人（2011） 的实验中证明，主体对具体概念和抽象概念的表征可能涉及不同的表征系统。国际数学教育研究也表明[6]，中国学生更擅长叙述性表征形式，对于描述性表征更缺乏。以上研究表明：叙述性表征与描述性表征之间虽然有紧密联系，但并没有必然包含的关系，即：叙述性表征不是描述性表征的高级抽象形式，学生能理解数学对象的符号表征，不表明他能将数学对象用其他描述性表征形式表征，甚至有可能在各种实际情景中无法再认出来。

3.改进的多元表征教学模式

综合前面的教学模式及存在的问题，我们将高职数学的多元表征形式教学模式程序表示为：首先提出问题情境，激发学生对所提出问题进行以描述性表征为主的多元表征探究；其次引导学生对问题进一步思考，在描述性表征的基础上，形成叙述性多元表征；然后解决问题，使得此数学对象成为学生知识网络中的一部分；最后，提出新的问题，并指导学生在新的问题情境下，对此对象再次进行不同形式的描述性多元表征，深化学生对此数学对象的实践与应用。并且其过程是以“提出问题 —描绘性多元表征问题— 叙述性多元表征问题本质—理解和掌握相关数学知识—用相关知识多元表征同类问题”为单元的循环过程， 其具体情形如图 1 所示：

描绘性表征？摇？摇叙述性表征？搖？摇？摇？摇 描绘性表征

？摇？摇？摇？摇↑？摇？摇 ？摇↑？摇 ？摇？摇↑ ？摇↑

→提出问题—分析问题—解决问题—概念形成—问题（概念）深化→

图 1

三、高职数学用运用多元表征教学案例

案例：数列极限概念的多元表征教学过程

首先，教师展示图片利用面积法求数列a■=■的和，对极限概念进行图片表征，如图2；

其次，学生动手折棒，亲历“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的情景，进行实际操作表征；

接着，学生在不同数轴上做出多个数列图像表征，例如a■=■ （如图3），a■=（-1）■■， a■=（-1）■，a■=2n的图像，将图像分类并观察其特点，对极限进行图形表征；

图3

然后在教师指导下用语言描述表征“当n趋近无穷大时， f（n）趋近某一常数A”数学极限概念，并用符号将其表征为■ f（n）=A，促使学生初步掌握数列极限概念；

再次，在教师的指导下，学生利用圆内接正多边形推导圆面积计算公式的推导问题，对极限进行图形表征（如图4）；

最后，教师还可以以古诗 “孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”或“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”的意境表征加强学生对极限的感知。

参考文献：

[1]BALLDL， HALVES， TWOTHS. Constructing and Using Represe ntational Contextsin Teaching Fractions[J]. An Integration of Research ：Rational Numbers， 1993（3）.

[2]EISENBERGT. On Different Factes of Mathematics Thinking[J]. Mathemati cs Thinking， 1996，32.

[3]李静等.基于多元表征发展代数思维的教学模式研究 [J] .西南师范大学学报，2011.36（3）.

[4]黄瑾等.心理科学[J].2012，35（6）.

[5]殷融等.心理科学[J].2014，37（2）.

[6]黄金荣.中美学生数学学习的系列实证研究[M].教育科学出版社，2007.4.