对均值法与导数法的比较研究

王杏 周仁国 翁小勇

摘 要： 立体几何中最值问题可通过引入几何变量，建立变量间的函数关系，再有效利用均值不等式解决问题，也可采用化归的思想方法，将立体几何问题转化为平面几何问题。本文拟通过一道立体几何的最值问题，探讨用均值法与导数法解决此类问题的优缺点。通过比较发现，导数法是解决立体几何最值问题较快捷、有效又易理解的一种方法。

关键词： 定义法 均值不等式 求导法 立体几何

1.引言

求解最值问题通常在函数中出现，常用方法有均值法、导数法、函数单调性等。对此，许多专家学者已研究得十分成熟，而对立体几何的研究并不多见。因此，通过对立体几何的最值问题，通过对比均值法和导数法发现导数法是较快速、简捷、有效的方法。

2.均值法与导数法的比较研究

案例：现有一矩形铁皮，其长为30cm，宽为14cm，将其从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，然后将余下部分折叠为一个无盖铁盒，问x为何值时铁盒的容积最大，并求出最大容积。

分析：对于立体几何问题求最值，可由已知条件选取恰当变量建立函数关系，将生活中的立体几何问题转化为对函数最值的研究，体现等价转化的数学思想。

（均值法）本例可根据已知条件建立的函数关系式，根据使用均值不等式的条件，引入待定系数a、b，消掉x，从而使问题获解。

依题意，设铁盒高为x cm，则底面长为（30-2x）cm，宽为（14-2x）cm。

∴铁盒容积V=（30-2x）（14-2x）x=4（15-x）（7-x）x

显然：15-x>0，7-x>0，x>0

设V= （15a-ax）（7b-bx）x（a>0，b>0），则

根据“均值”不等式积有最大值，则需满足“一正二定三相等”的条件，即

-a-b+1=015a-ax=7b-bx=x

解得，a= ，b= ，x=3

从而V= （ - ）（ - ）x≤ （ ）=576（a>0，b>0）

当且仅当x=3时，V（x）取得最大值576cm （注：此例可设V（x）= （15a-ax）（7-x）bx，V（x）= （15-x）（7a-ax）bx（a>0，b>0），同理，根据均值不等式的使用条件“一正二等三相等”列出方程组，解出a、b、x。）

（导数法）V（x）=4（15-x）（7-x）x=4x -88x +420，0

令V′（x）=12x -176x+420=0

解得x=3或x= >7（不符合题意，舍去）

当x<3时，V′（x）>0，V（x）为增函数；当x>3时，V′（x）<0，V（x）为减函数；因此，当x=3时取最大值，即V =4（15-3）（7-3）3=576cm 。

实际上，这是教学中学数学思想方法之“待定系数法”时的一道例题，旨在通过均值不等式“一正二定三相等”的使用条件，突出待定系数法在立体几何中的应用。但在此解法中，对于学生而言，引入待定系数，巧妙构建函数的一次项系数之和为0是非常困难的。而学生采用导数法求解问题，反倒使问题更简便，更容易理解与掌握。

3.结语

通过将立体几何问题转化为代数问题，建立函数模型，根据导数的几何意义，找到的极值点，从而判断该极值點是最大（或小）值，解决问题。由此可见，导数法不仅可用于函数中求单调性和最值，在立体几何中也能发挥独树一帜的作用。

参考文献：

[1]郑德琴.浅谈待定系数法在数学解题中的应用[J].希望月刊，2007（8）.

[2]施建华.高考立体几何与导数结合求最值的例题分析[J].考试周刊，2009（12）.