平面直角坐标系中三角形面积求法浅析

刘继承

七年级下学期学习了平面直角坐标系之后，我们会经常遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.平面直角坐标系是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合思想方法运用的基础，此类问题是解析几何的初步，在中考中甚至是压轴题中都有涉及，在高中教材中也有拓展.解此类题时，我们要注意解题方法和解题技巧.现举例说明如下.

一、有一边在坐标轴上或有一边与坐标轴平行的三角形

例1：如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（-3，0），（0，2），（2，0），你能求出三角形ABC的面积吗？

分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边AC在x轴上，由图形可得AC=5，点B到AC边的距离就是点B到x轴的距离，也就是B点纵坐标的绝对值2，然后根据三角形的面积公式求解.

解：∵A（-3，0），C（2，0），∴AC=2-（-3）=5.∵B（0，2），∴B点到x轴的距离，即AC边上的高为2，∴S=×AC×2=5.

例2：如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（-3，1），（0，2），（2，1），你能求出三角形ABC的面积吗？

图1                                图2

分析：由A（-3，1），C（2，1）两点纵坐标相同，可知边AC与x轴平行，因而AC的长度易求.作AC边上的高BD，则D点纵坐标与A点纵坐标相同，都是1，这样可求得线段BD的长，进而可求得三角形ABC的面积.

解：如图2，作AC边上的高BD，则D点的纵坐标为1，∴BD=2-1=1，∵A，C两点的横坐标相同，∴AC∥x轴，∴AC=2-（-3）=5.∴S=×AC×BD=.

二、有一个顶点在坐标轴上的三角形

例3：如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（-3，0），（-2，-3），（-1，3），你能求出三角形ABC的面积吗？

图1                                图2

分析：前面我们已经能解决三角形一边在坐标轴上或有一边与坐标轴平行的问题，观察图形发现△ABC刚好被x轴分成两部分，因此△ABC的面积可以看成是两个一边在x轴上的三角形面积之和，运用前面提到的方法就能很快解决.

解：如图2，设BC与x轴的交点为D，∵B（-2，-3），C（-1，3），∴l：y=6x+9，∴D（-，0），∴S=S+S=××3+××3=.

例4：如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（-3，0），（-2，-3），（-1，-2），你能求出三角形ABC的面积吗？

图1                                图2

分析：观察图形发现如果延长△ABC的BC边将会与x轴相交，因此△ABC的面積可以看成是两个一边在x轴上的三角形面积之差，用前面提到的方法就能很快解决.

解：如图2，延长BC交x轴于D，∵B（-2，-3），C（-1，-2），

∴l：y=x-1，

∴D（1，0），

∴S=-S=×4×3+×4×2=2.

三、坐标系内任意三角形

例5：如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（1，3），（3，1），（4，4），你能求出三角形ABC的面积吗？

图1                                         图2

分析：观察图形发现我们可以用平行于坐标轴的直线分割△ABC，比如过B点作y轴的平行线可以把△ABC分割成两个三角形，并且这两个三角形都有一边与坐标轴平行，从而把此类问题转化成第一类问题，也就能顺利求出△ABC的面积了（也可以过A点作x轴的平行线去分割）.

解：过B点作y轴平行线交AC于D，∵A（1，3），C（4，4），∴l：y=x+，又∵BD∥y轴，B（3，1），∴l：x=3，联立y=x+x=3

可得D（3，），

∴S=S+S=××2+××1=4.

虽然第二、三类问题看似复杂，但实际上我们都可以转化为第一类问题来解决，这种转化的思想是我们解决问题常用的方法之一.掌握这些方法，不仅能解决坐标系中三角形面积的求法，甚至对于坐标系中多边形的面积也可以转化成三角形的面积来求，此类问题备受中考命题者青睐，甚至在压轴题中也时有出现.