论定积分与曲线积分的特殊与一般关系

冯庆红

摘 要： 本文讨论了定积分与曲线积分之间存在的一般与特殊的关系.定积分作为最基本、最重要，以及应用最广泛的积分，为曲线积分的计算提供了坚实理论依据与可行性的操作方法.而曲线积分是将定积分积分区间推广到一段曲线弧，被积函数由一元函数推广到二元或三元函数的情形，它是定积分的拓展.

关键词： 定积分 曲线积分 特殊与一般关系

从历史上看，定积分是从几何与力学问题出发，在基于计算平面上封闭曲线所围平面有界闭区域面积和物体做变速直线运动的路程而产生的.而曲线积分是在计算弯曲构件的质量及研究变力沿曲线做功时产生的，它们有着不同的实际背景并且都联系着不同的物理意义或几何意义.重积分与曲面积分也类似.

随着人类认识和实践活动的逐渐深入，定积分已经成为各种数学计算及计算许多实际问题的数学工具.它是一元函数积分学中最重要的概念与方法，其他所有的积分包括重积分、曲线与曲面积分的计算都需要转化为定积分来计算，而定积分也可以作为一些积分的特殊情况.本文只针对定积分与曲线积分的关系进行相关讨论，用以说明数学概念与方法的相通性，同时反映出数学中“特殊中有一般，一般存在于特殊之中”的哲学思想.

一、定积分是最一般的积分

之所以这么说，是因为曲线积分都要转化为定积分来计算.由于有了不定积分的各种计算方法做保障，还有牛顿莱布尼茨公式做桥梁，定积分成为最基本、最重要，也是应用最广泛的积分.重积分、曲线和曲面积分就是将定积分的积分区间推广到平面（或空间）有界闭区域、曲线和曲面上的积分，因此它们的计算方法当然与定积分有着密不可分的关系.此时，定积分就是一般积分，其他积分就是特殊积分.

例1.计算？蘩

二、定积分是特殊积分

1.定积分可以看做是其他各种积分的特殊情况.

曲线积分是定积分的推广，它不同与定积分，被积函数都是定义在曲线弧上的二元（或三元）函数，并且沿着曲线弧l进行积分.而定积分的被积函数是一元函数，积分变量仅在区间[a，b]上变动.在此意义下，定积分就是曲线积分的特殊情形.具体表现在以下方面.

（1）定积分

综上所述，定积分与曲线积分存在着密不可分的关系.曲线积分是定积分的拓展，定积分是曲线积分的计算工具，是它的特殊情形.

参考文献：

[1]同济大学数学系.《高等数学》第六版上册.高等教育出版社，2007.4.

[2]同济大学数学系.《高等数学》第六版下册.高等教育出版社，2007.4.

[3]李徐鸿.通俗线性代数讲义.中国人民大学出版社，2003.10.

[4]刘玉琏，等.《数学分析讲义》第五版上册.高等教育出版社，2009.6.

[5]刘玉琏，等.《数学分析讲义》第五版下册.高等教育出版社，2009.6.