剖析不同解题方法，深刻理解感应电动势

王栋 傅永平 谭敏

摘 要： 本文深入剖析了一道电磁感应例题，提出几种不同解法，有对有错，分析了不同解法的对错原因及物理意义。在教学中，这种分析可以开拓学生思维，使物理概念更清晰，达到物理教学目的。

关键词： 电磁感应 磁通量 电动势

在奥斯特发现电流周围能够产生磁场后，物理学家们立即想到：磁场能否产生电流呢？物理学很多理论都具有对称的美感，法拉第坚信这种对称美也存在于电流和磁场之间，于是他经过十年不懈努力，终于发现了电磁感应规律，即法拉第定律：不论什么原因使通过回路面积的磁通量发生变化，回路中均会产生感应电动势，其大小与通过该回路面积的磁通量随时间的变化率成正比，即：

ε=

这一规律的发现，不仅大大推动了电磁理论的发展，而且对生产实践也起到了很大促进作用。

在大学物理教学中，法拉第定律是一个非常重要的内容，它提供了一种计算感应电动势的简单方法：只要计算磁通量随时间的变化率即可。式中的负号代表感应电动势的方向，而方向可由楞次定律判定，若只考虑电动势大小，则可忽略负号，或者取绝对值。于是，需要先计算任意时刻的磁通量，再把磁通量对时间求导。作为一个简单的例子，图1所示的情况值得在课堂让学生练习，并进行深入剖析。

如图所示，在磁感应强度的大小B=kt（k>0），方向与导线回路的法线方向成60°角的均匀磁场中，一长为l的导体棒AB以速度v向右滑动，设t=0时，AB与CD重合，求任意时刻导线回路的感应电动势的大小。

对于这个题，在此提供几种不同的解法，有对的，也有错的：

以上四种解法，（2）和（3）结果相同，（1）和（4）结果相同，表面上看解题过程似乎并没有什么问题，却得到不同的结果。事实真相只有一个，四种解法中有两种肯定是不对的。仔细分析，不难发现其中问题。

解法（1），根据均匀磁场磁通量的计算方法，用t时刻的磁感应强度B点乘t时刻的面积S，得到t时刻的磁通量，再求磁通量的变化率，这是没有问题的。那么解法（2）肯定就有问题了，实际上解法（2）中求得的φ并不是t时刻的磁通量。表面上看，用积分的方法求磁通量似乎更合理，但最终把对面积的积分转化为对时间的积分，就使得不同面元处磁感应强度不同。积分中取面元dS=（lvdt）e，元磁通量dφ=B·dS，其中的B是随时间增大的，越往左的面元中，所涉及的磁场越小，在CD附近，磁感应强度甚至为零。这是不合理的，因为磁场是均匀磁场，任意时刻，各面元处的磁感应强度都应该相等。如果要用积分求磁通量，就要考虑磁场在空间的分布规律，即均匀磁场：

这就跟解法（1）一样了。解法（3）和解法（4）绕开积分，用微分的方法求感应电动势，即用dt内的磁通量增量dφ除以dt，也是可以的。但是在解法（3）中，求出的dφ并不是dt内的磁通量增量，这里只考虑了因面积变化导致的磁通量变化，缺少了磁场变化引起的磁通量变化，实际上只求出了感应电动势的一部分。解法（2）和解法（3）的错误本质上是一致的，因为它们的元磁通量一致。解法（4）中，对φ求导，根据求导法则，分别对B和S求导。从物理意义上说，分别考虑了磁场和面积变化引起的磁通量变化，思路非常清晰，意义非常明确。

以上四种解法中，主要分歧在于分析磁通量变化时是否考虑完全，磁通量的变化可以是因为磁场变化或者面积变化。因此，物理学家对感应电动势做了这样的分类：因磁场变化而产生的电动势称为感生电动势，因面积变化（导体运动）而产生的电动势称为动生电动势。产生这两种电动势的非静电力不同，分别为涡旋电场力和洛伦兹力，于是根据电动势的定义，可以写出电磁感应的另一种表达式：

式中第一项为感生电动势，第二项为动生电动势。这一表达式反映了电磁感应现象的根源，也可以用于计算感应电动势。对于本文讨论的例题，如果用这种表达式计算，就不会出现磁通量变化考虑不完全的问题。以下为解题过程：设回路绕向为逆时针，其中，

于是ε=-klvt，式中负号表示方向与所设方向相反，为顺时针。

综上所述，一个简单的例题，在教学中可以多角度进行分析，这样既可以使物理概念更清晰，意义更明确，又可以开拓学生思维，学生理解起来也更容易，而不需死记硬背，这也正是学习大学物理的意义所在。

参考文献：

[1]赵凯华，陈熙谋.电磁学[M].北京：高等教育出版社，1985.

[2]廖耀发，陈义万.大学物理学[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]王国强，路素彦.电磁感应定律两种表述的讨论[J].郧阳师范高等专科学校学报，2000，20（3）：42-45.