等差等比数列性质的延伸

王永梅

摘 要： 本文分析了等差数列和等比数列两类特殊数列的子数列性质及与原数列的关系，给出了子数列性质的某些证明.

关键词： 等差子数列 等比子数列 性质

数列在整个高中教学中占着重要位置.等差数列等比数列在历年的高考与高职高考中都是非常重要的题型.同时，等差、等比数列又是一种高等数学计算方式，可用在计算机编程等语言里面.

一、等差数列的子数列性质

（1）等差数列a■，a■，…，a■，a■，a■，…，a■，…中，去掉前m-1项后组成一个新数列：a■，a■，…，a■，…仍然是一个等差数列.

（2）等差数列中每隔相等的“距离”取出的项依次组成的新的数列a■，a■，a■，…（k，m∈N■）仍然是公差为md的等差数列.如偶數列{a■}是公差为2d的子数列、奇数列{a■}是公差为2d的子数列.

（3）若数列{a■}是等差数列，则{a■+a■}，{a■-a■}，{a■+a■+a■，a■+a■+a■，a■+a■+a■，…}，…仍为等差数列，公差分别为2d，0，9d.

（4）若数列a■为等差数列，则依次每k项之和也是等差数列，即S■，S■-S■，S■-S■，…也是等差数列.

性质（4）将题目求解简化，看以下例题.

例题1：已知一个等差数列的前10项和为310，前20项和为1220，

1.由此可以确定求其前n项和的公式吗？

2.S■，S■，S■这三者之间有何关系？

3.求S■.

解：1.由性质（4）可知：d■=S■-S■=k■d其中k=10

有（1220-310）-310=100d

得d=6带入10a■+10×92d=310

得a■=4，S■=3n2+n

2.S■，S■，S■这三者之间的关系.由性质4知S■，S■-S■，S■-S■这三者是等差数列，

公差d■=k■d=100×6=600.

3.求S■.已知（S■-S■）-（S■-S■）=d■，

有S■=600+2S■-S■=600+2×1220-310=2730.

可见，利用性质（4）解题大大简化了运算步骤，减少了运算量.

二、等比数列的子数列性质

（1）在公比为q的等比数列a■，a■，…，a■，a■，a■，…，a■，…中去掉前m-1项后，所得的数列：a■，a■，…，a■，…还是等比数列.

（2）等比数列a■，a■，…，a■，…中每隔相等的“距离”取出项，依次组成的新的数列a■，a■，a■，…（k，m∈N■）仍为等比数列，公比为q■.

（3）若数列{a■}是等比数列，则{a■a■}，{a■a■}，{a■a■a■，a■a■a■，a■a■a■，…}仍为等比数列，公差分别为q■，q■，q■….

（4）若数列{a■}是等比数列，则依次每k项之和也是等比数列，即S■，S■，S■-S■，…也是等比数列.

例题2：已知公比是不为1的等比数列{b■}，若S■=48，S■=60，求S■.

解：S■，S■，S■这三者之间的关系由性质4知

S■，S■-S■，S■-S■是等比数，

公比q■=S■-S■S■-S■=S■-S■S■

于是S■-60×60-48=60-48×48

解得S■=63.

本文研究了等差、等比数列子数列的性质，便于学生在以后的学习过程中能从不同的角度看待问题、解决问题，从而提高学生的思维能力，培养学生的观察归纳能力.

参考文献：

[1]丁月娇.等差数列性质及其应用.南京师范大学泰州学院，2012.

[2]赵坚强.等差数列与等比数列性质[J].内江科技，2008（03）.