范德蒙行列式在多项式计算中的应用

戴娟 邱雁

摘 要： 在高等代数中，利用行列式展开理论得到了范德蒙行列式的计算结果.多项式理论是高等代数核心理论之一，本文利用范德蒙行列式讨论了几个多项式的计算问题.

关键词： 范德蒙行列式 多项式 拉格朗日插值多项式

在高等代数中有下列结果，n阶的范德蒙行列式V■=1 x■ x■■ … x■■1 x■ x■■ … x■■… … … …1 x■ x■■ … x■■=■（x■-x■），当这些x■两两互异时，V■≠0，这个结果可以解决一些关于多项式的计算问题.

一、关于多项式根的问题

例1：证明一个n次多项式至多有n个互异根.

证：设f（x）=a■+a■x+…+a■x■有n+1个互异的零点x■，x■，…，x■，x■，则有

f（x■）=a■+a■x■+…+a■x■■=0，1≤i≤n+1，

即a■+x■a■+x■■a■+…+x■■a■=0，a■+x■a■+x■■a■+…+x■■a■=0， …a■+x■a■+x■■a■+…+x■■a■=0，

這个关于a■，a■，a■的齐次线性方程组的系数行列式

1 x■ x■■ … x■■1 x■ x■■ … x■■… … … …1 x■ x■■ … x■■=■（x■-x■）≠0

因此a■=a■=…=a■=0.这表明f（x）至多有n个互异根.

二、关于拉格朗日插值多项式

例2：设a■，a■，…，a■是两两互异的数，证明对任意n个数b■，b■，…，b■，存在唯一的次数小于n的拉格朗日插值多项式L（x）=■b■■x-■，使得L（a■）=b■，1≤i≤n.

证：从定义容易看出L（x）的次数小于n，且L（a■）=b■，故只需证明唯一性即可.

设f（x）=c■+c■x+c■x■+…+c■x■满足f（a■）=b■，1≤i≤n，

即c■+a■c■+a■■c■+…+a■■c■=b■，c■+a■c■+a■■c■+…+a■■c■=b■， …c■+a■c■+a■■c■+…+a■■c■=b■，

这个关于c■，c■，c■，…，c■的线性方程组的系数行列式

1 a■ a■■ … a■■1 a■ a■■ … a■■… … … …1 a■ a■■ … a■■=∏■（a■-a■）≠0，c■，c■，c■，…，c■是唯一的，所以f（x）=L（x）.

三、关于多项式整除问题

例3：设f■（x），f■（x），…，f■（x）是n-1个复系数多项式，满足1+x+…+x■|f■（x■）+xf■（x■）+…x■f■（x■），证明f■（1）=f■（1）=…=f■（1）=0.

证：f■（x■）+xf■（x■）+…+x■f■（x■）=p（x）（1+x+…+x■），

取ω=cos■+isin■，分别以x=ω，ω■，…，ω■代入，可得

f■（1）+ωf■（1）+…+ω■f■（1）=0，f■（1）+ω■f■（1）+…+ω■f■（1）=0， …f■（1）+ω■f■（1）+…+ω■f■（1）=0.

这个关于f■（1），f■（1），…，f■（1）的齐次线性方程组的系数行列式

1 ω … ω■1 ω■ … ω■… … … …1 ω■ … ω■≠0，因此f■（1）=f■（1）=…=f■（1）=0.

利用例3容易得出：设n是奇数f■（x），f■（x），…，f■（x）是n-1个复系数多项式，满足x■-x■+x■-…+1|f■（x■）+xf■（x■）+…+x■f■（x■）|，则f■（-1）=f■（-1）=…=f■（-1）=0.

上面这几道关于多项式的计算问题都通过巧妙地化为范德蒙行列式，得到了解决.

参考文献：

[1]赵树嫄.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，2002.

[2]冯锡刚.范德蒙行列式在行列式计算中的应用.山东轻工业学院学报（自然科学版），2000.2.