“切”行且“析”

马路广

摘 要：圆锥曲线的切线问题在高考真题或模拟题中屡见不鲜.椭圆的切线问题，通常转化为利用判别式为零求解，还可以逆向思考或辩证巧析求解.此类方法可用于解决双曲线、抛物线的切线问题.

关键词：圆锥曲线；切线问题；解析

圆锥曲线的切线问题，高中教材从未涉及，但在一些高考真题或模拟题中屡见不鲜.如：

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

（Ⅰ）求椭圆C及其“准圆”的方程；

（Ⅱ）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作两条作两条直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由.

现以题2中椭圆剖析如下：

一、浅析：通性通法

此类问题，通常转化为利用判别式为零求解.

（2）设P（s，t），则s2+t2=4.

即（3k2+1）x2+6k（t-ks）x+3（t-ks）2-3=0，

由Δ=36k2（t-ks）2-4（3k2+1）[3（t-ks）2-3]=0，

可得（3-s2）k2+2stk+1-t2=0，其中3-s2≠0，

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是上述方程的两个根，

综上可知，对于椭圆C“准圆”上的任意点P，都有l1⊥l2.

由点P的任意性，我们逆向思考，如果l1，l2都与椭圆C相切，那么l1与l2交点P的轨迹是否是圆呢？

二、探析：逆向变式

证明：设交点P（x0，y0），过P与椭圆相切的直线方程为：y-y0=k（x-x0），

将它与椭圆方程联立消y整理得：（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a[（y0-kx0）2-b2]=0.

因为直线与椭圆相切判别式为零，

所以a4k2（y0-kx0）2-（a2k2+b2）a2[（y0-kx0）2-b2]=0，

整理得：（a2-x02）k2+2x0y0k+（b2-y02）=0.

两直线垂直则：k1k2=-1.

所以P点的轨迹方程为x2+y2=a2+b2.

三、巧析：辩证思维

我们改变椭圆位置，看下面问题：

题3：如图，一个长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，在第一象限内滚动，并且始终与两坐标周相切，求该椭圆中心的轨迹方程.

四、研析：类比推广

椭圆是封闭曲线，由题2所揭示的性质，对于双曲线、抛物线是否有类似结论.

有兴趣的读者不妨一试，“切”行且“析”.

编辑 鲁翠红