一类广义Sierpin＇ski图的原子键连通度

2015-09-07辛玉忠梁晓东

新疆师范大学学报(自然科学版) 2015年4期

关键词：条边拷贝正则

辛玉忠，梁晓东

（新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046）

一类广义Sierpin＇ski图的原子键连通度

辛玉忠，梁晓东∗

（新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046）

Sierpin＇ski图；广义Sierpin＇ski图；ABC指标

拓扑指标在化学，药理学等方面的研究中发挥着重要的作用。上世纪中叶以来，研究者们提出了各种各样的拓扑指标（参见［1，2000］），其中以1975年由MilanRandic′提出的Randic′指标最具代表性［2］。1998年，Estrada等人提出了原子键连通度（ABC）指标［3］。一个图G的原子键连通度（ABC）指标定义为：

其中，d（u）表示点u在G中的度数。ABC指标在化学热力学及数学化学中均有广泛的研究［4］。

定义1 Sierpin＇ski图S（kn，t）的顶点集是V（S（kn，t））=｛1，2，…，n｝t。｛u，v｝是S（kn，t）的一条边，当且仅当存在i∈｛1，2，…，t｝使得：

在文献［9］中，这个结构推广到了任意图G，定义为广义Sierpin＇ski图，记作S（G，t）。

定义2 广义Sierpin＇ski图S（G，t）的顶点集是V（S（G，t））=｛1，2，…，n｝t。｛u，v｝是S（G，t）的一条边，当且仅当存在i∈｛1，2，…，t｝，使得：

图1 Sierpin＇ski图S（K3，3）和广义Sierpin＇ski图S（C4，3）

注意到S（G，t）可以由G构造，步骤如下：当t=1时，S（G，1）=G。当t≥2时，首先将S（G，t-1）复制n次，然后在与x相应的那个S（G，t-1）的每个顶点标签之前添加x，对于G的每一条边｛x，y｝，在点xyy…y和yxx…x之间添加一条边。标号为xx…x的点称为极点。对于任意n阶图G以及任意整数t≥2，S（G，t）有n个极点。若点x在G中的度数为d（x），则极点xx…x在S（G，t）中的度数也为d（x）。S（G，t）中的两点xyy…y和yxx…x连接S（G，t-1）的两个拷贝，故它们的度数分别为d（x）+1和d（y）+1。

图2 聚合物Sierpin＇ski图P（K2，3）

用Pn表示阶为n的路。在文献［10，11，2003-2005］中，介绍了构造P（Kn，t）的方法。对于n阶连通图G，文献［12，2015，145-160］中给出了聚合物Sierpin＇ski图P（G，t）的如下定义。

定义3 对任意i∈｛1，2，…，t｝，定义集合Ai=｛ai1，ai2，…，aini-1｝。记S（G，i）=（Vi，Ei），其中Vi=｛vi1，vi2，…，vini｝。则广义Sierpin＇ski图P（G，t）的点集和边集分别为：

注意到，P（G，t）可以由如下步骤构造：当t=1时，P（G，1）是由a11连接S（G，1）的一个拷贝的每个顶点构成的。当t=2时，为了得到P（G，2），需要运用P（G，1），A2，S（G，2）；把每一个a2j∈A2与v1j∈V1连接，并且把a2j与G在S（G，2）中的第j个拷贝的所有点连接。相似地，为了得到P（G，t），需要运用P（G，t-1），At，S（G，t）；把每一个atj∈At与vt-1j∈Vt-1连接，并且把atj与G在S（G，t）中的第j个拷贝的所有点连接。

文章中考虑基于广义Sierpin＇ski图的网络模型，获得了聚合物Sierpin＇ski图P（G，t）的ABC指标的公式，其中G是一个完全图或一个无三角形δ正则图。

1 计算P（G， t）的原子键连通度

其中，

证明令d（x）为点x在P（G， t）中的度数，对P（G， t）中的边｛x， y｝，分如下情况讨论：

（1）x=a1，y∈V1。这种情况下，P（Kn，t）有n条边｛x， y｝，其中d（x）=n，d（y）=n+1，这些边对ABC指标的贡献为：

（3）x∈Ai，y∈Vi，2≤i≤t-1。P（Kn，t）有n条边｛x， y｝，其中y是S（Kn，i）的极点，d（x）=d（y）= n+1。同时有ni-n条边｛x， y｝，其中y不是S（Kn，i）的极点，d（x）=n+1，d（y）=n+2。这些边对ABC指标的贡献为：

（5）x∈Vi，y∈Ai+1，1≤i≤t-1，P（Kn，t）n条边｛x， y｝，其中x是S（Kn，i）的极点d（x）=d（y）= n+1。同时有ni-n条边｛x， y｝，其中x不是S（Kn，i）的极点，d（x）=n+2，d（y）=n+1。这些边对ABC指标的贡献为

（6）x∈At，y∈Vt。P（Kn，t）有n条边｛x，y｝，其中y是S（Kn，t）的极点，d（x）=n+1，d（y）=n。同时有nt-n条边｛x，y｝，其中y不是S（Kn，t）的极点，d（x）=d（y）=n+1。这些边对ABC指标的贡献为：

推论2 对任意阶为n≥2的δ正则图G，

对给定的图H，用gH（δ）表示度数为δ的点的个数。

引理3［12］对于任意无三角形的n阶δ正则图G以及任意正整数t≥2，

对给定的图H，用fH（δ，δ＇）表示两个顶点度数分别为δ和δ＇的边的个数。

引理4［12］对于任意无三角形的n阶δ正则图G以及任意正整数t≥2，

定理5 对于任意无三角形的n≥2阶δ正则图G以及任意整数t≥2，

其中，

证明令d（x）为点x在P（G，t）中的度数，｛x， y｝为P（G，t）中的边。

（1）x=a11，y∈V1。这种情况下，P（G，t）有n条边｛x， y｝，其中d（x）=n，d（y）=δ+2。这些边对ABC指标的贡献为：

（2）x，y∈V1。 P（G，t）有条边｛x， y｝，其中d（x）=d（y）=δ+2。这些边对ABC指标的贡献为：

d（x）=d（y）=δ+3。这些边对ABC指标的贡献为：

［1］R.Todeschini，V.Consonni.Handbook ofmo1ecu1ar descriptors［J］.Wi1ey-VCH，Weinheim，2000.

［2］M.Randic′.On characterization ofmo1ecu1ar branching［J］.Am.Chem.Soc，1975，（97）：6609-6615.

［3］E.Estrada，L.Torres，L.Rodríguez，I.Gutman.An atom-bond connectivity index：mode11ing the entha1py of formation of a1kanes，Indian［J］. Chem.1998，（37A）：849-855.

［4］E.Estrada，Atom-bond connectivity and the energetic of branched a1kanes［J］.Chemica1Physics Letters，2008，（463）：422-425.

［5］I.Gutman，J.Tosovic＇，S.radenkovic＇，S.Markovic＇，On atom-bond connectivity index and its chemica1app1icabi1ity［J］.Indian Journa1of Chemistry，2012，（51A）：690-694.

［6］A.Graovac，M.Ghorbani，A new version of the atom-bond connectivity index［J］.Acta Chimica S1ovenica，2010，（57）：609-612.

［7］X.Ke，Atom-bond connectivity index of benzenoid systems and f1uoranthene congeners［J］.po1ycyc1ic Aromatic Compounds，2012，（32）：27-35.［8］S.K1avzar，U.Mi1utinovic，Graphs S（n，k）and a variant of the tower of Hanoi prob1em，Czech［J］.Math.J.1997，（47）：95-104.

［9］S.Gravier，M.Kovse，A.Parreau，Genera1ized Sierpin＇ski graphs［J］.Des.Codes Cryptogr.2013（69）：181-188.

［10］A.Jurjiu，Dynamics of po1ymer networksmode1ed by finite regu1ar fracta1s［J］.Ph.thesis.Univ.Freiburg，2005.

［11］A.Jurjiu，T.Kos1owski，A.B1umen，Dynamics of deterministic fracta1po1ymer networks：hydrodynamic interactions and the absence of sca1ing［J］. Chem.Phys.，2003，（118）：2398.

［12］Juan A.Rodriguez-Veazquez，Jessica Toma＇s-Andreu.On the randic′index of po1ymeric networksmode11ed by genera1ized Sierpin＇ski graphs，MATCH Commun［J］.Math.Comput.Chem，2015，（74）：145-160.

Atom-bond Connectivity Index of Generalized Sierpin＇ski Graph

XlNYu-zhong， LlANG Xiao-dong∗
（School ofMathematics and System Sciences，Xinjiang University，Urumqi，Xinjiang，830046，China）