初中数学说题案例之“巧用图形推公式”

谭筠

题目：八年级上册课本第147页的问题

问题：如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米，宽m米的长方形绿地，增长了b米，加宽了n米，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？

一、审题分析

（一）题目背景。此题出现在第十五章《整式的乘除与因式分解》的15.1.4整式的乘法中，它是学生学完了单项式乘以多项式之后提出的多项式乘以多项式的问题，既是前面各种运算性质、法则的推广与综合运用，又为今后探究乘法公式和因式分解，了解公式的几何背景等知识作准备，而且在其得出的过程当中涉及到数形结合，转化等重要的数学思想。因此，它在整个章节甚至“数与式”的学习中占有重要地位。

（二）分析题目。已知：长方形长为（a+b），宽为（m+n）问题：求长方形的面积

（三）题目的教学目标

知识与技能：1.理解和掌握多项式乘以多项式的法则及其推导过程;2.能灵活地进行整式的乘法运算。

过程与方法：1.经历探索多项式与多项式的乘法法则的过程，体会乘法分配律的作用以及“数形结合”、“整体”和“转化”的数学思想;2.通过对乘法法则的探索，归纳和描述，发展学生有条理思考的能力和语言表达能力。

情感与态度：培养学生独立思考和勇于实践的探索精神，树立学好数学的信心，激发学习数学的兴趣

（四）题目的重点和难点

重点：多项式乘法法则的导出及其应用

难点：1.在计算中确定积中各项的符号;2.防止重项漏项。

关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘的运算，再进一步转化为单项式的乘法，紧紧扣住这一线索

二、解题过程

（一）读题。略。

（二）审题

[教师展示]

引导学生将数学问题和几何图形联系解决问题

[学生]

画图分析题意并用数学语言叙述如下：已知：如图，长方形长为（a+b），宽为（m+n）问题：表示长方形的面积

[教学设想1]

如果学生能较容易得出四种表示法，那么就可以进而思考

1.不同的表示方法之间有什么关系？

2.如何从数学的角度认识它们之间的关系？

[教学设想2]

启发（1）如图，街心花园有块绿地，长a米，宽m米，求面积

ma

启发（2）如图，扩大绿地面积，把原长增长了b米，宽不变，求面积

m（a+b）=ma+mb

启发（3）联系图形，说一说上式的意义是什么？

[学生]

分组讨论，合作探究，展示成果

表达示① （a+b）（m+n）

表达示② m（a+b）+n（a+b）

表达示③ a（m+n）+b（m+n）

表达示④ am+bm+an+bn

[教师展示]

1.化简表达式②③，你会有什么发现？

2.这些表达式之间有什么关系及运算规律？

关系式一：

（a+b）（m+n）= m（a+b）+n（a+b）= am+bm+an+bn

关系式二：

（a+b）（m+n）= a（m+n）+b（m+n）= am+bm+an+bn

3.你能表述出多项式乘以多项式的运算法则吗？

引导描述式子：（a+b）（m+n）= am+bm+an+bn

[师生共同归纳]

归纳得出“多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。”

（三）应用新知

[常规应用]例计算

（1） （3x+1）（x+2）;（2） （x-8y）（x-y）;（3） （x-y）（x2+xy+y2）。

[学生]

分享解题心得，总结易错点，点拨容易犯错的两点：

① 防止重漏：合并前，积的项数=项数的积，如（a+b）（m+n），积的项数是2╳2=4，即4项

② 符号确定：两项相乘，每一项都包括前面的符号，同号得正，异号得负

[拓展探索]

改编自P148页练习2 计算

你能根据图形，大胆猜测：

（x+p）（x+q）= （  ）2+（  ）x+（   ）

根据上述的结论，请直接写出下列计算的结果：

①（a+2）（a+1）=                 ②（m-3）（m-1）=

③（b+5）（b-2）=                 ④（p-5）（p+3）=

三、总结提升

1.符号确定：多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意確定积中的各项的符号。

2.防止“重项漏项”，检验项数：在没有合并同类项之前，积的项数等于多项式项数的积。

3.结果最简：如果有同类项，则必须合并同类项，得出最简结果。

小锦囊：整式乘整式，符号是大事，为防重与漏，检验项数积，同类必合并，降次更整齐。

四、评价分析

（一）教法设计。1.注重形成平等的师生关系，体现教师是学生学习的组织者、引导者、合作者。2.重视引导学生独立探究，独立分析，主动合作，让学生在自主探索、合作交流中理解掌握知识技能，培养提高素质。3.能恰当合理运用现代教育技术。

（二）教学反思。1.本题由计算绿地面积出发，通过几种不同的计算图形面积方法，得出多项式相乘的法则，整个教学过程的主线和重点定在学生如何自主地探索多项式乘法法则的程以及如何熟练运用法则解决问题。2.教学处理时有两个问题值得我思考：①多项式乘以多项式，用分配律转化成单项式乘以多项式，再用分配律转化成单项式乘以单项式时，单项式乘以单项式的计算是基础，必须牢牢掌握;②由于用分配律须经两次转化才能成为单项式乘以单项式，过程显繁琐，所以多项式乘以多项式的计算，习惯上并不采取用分配律去转化，而是直接用法则多项式乘以多项式，还有一个“符号问题”也不容忽视。