固定边界条件下最优控制必要条件研究

吴群妹（无锡科技职业学院 理科教学部，江苏 无锡 214000）

固定边界条件下最优控制必要条件研究

吴群妹
（无锡科技职业学院 理科教学部，江苏 无锡 214000）

根据变分法的基本原理，对泛函极值问题进行了推广，给出了3类不同系统在固定边界条件下求得最优控制的必要条件，并且给出了证明。

泛函变分；泛函极值；最优控制

0 引言

变分法是求解泛函极值的一种经典方法［1］，可以确定容许控制开集的最优控制函数，也是研究最优控制问题的一种重要工具。关于变分法在最优控制中的应用已做了大量研究［2-3］。文献［4］用变分法实现了现代控制系统中的最优控制，文献［5］研究了变分法在最优控制问题中的一个应用，文献［6］讨论了最大值原理在求解无限时域最优控制问题中的一个应用。本文在已有研究的基础上提出了变分法在3类不同系统最优控制中的应用，并且给出了证明。

1 变分法基本定理

则在区域S内有:F（x，y）=0。

该方程为著名的欧拉方程，也称为欧拉-拉格朗日方程。

2 泛函极值推广

2.1 一个自变量的多个因变量的系统

则由定理1该系统在边界条件下达到最优的必要条件为

证明 采用拉格朗日法求其泛函微分，有

令ε→0，则

法律中幸福人的预设背后是一种面向生活世界的思维，寄涵着法律对人类理想生活状况的关怀，它真挚关注每个个体的幸福，同时也构设理想的生活方式，以令人满意的法律方式来实现以“人的生活”为终极关怀，即人之优良幸福的生活。“一切有生命和爱的生物、一切生存着的和希望生存的生物之最基本的和最原始的活动就是对幸福的追求。人也同其他一切有感觉的生物一样，他所进行的任何一种意志活动，他的任何一种追求也都是对幸福的追求。”［10］29我们都确然渴望幸福地生活，追求幸福是我们行动的动力和终极目的。

又固定边界条件δxi（a）=0，δxi（b）=0，得

当变分取得极值时δJ=0，由引理1得

2.2 高阶系统

设状态方程的一般形式为

边界条件为xi（i）（t0）=x0（k）和 xi（i）（T）=xi（k）（k=0，1，…，n-1和i=0，1，…，n-1）。其中u（t）为控制输入，x（i）（t）为状态变量。最优控制表达式为

则该系统在边界条件下达到最优的必要条件为

其通解含有2n个任意常数，它们由2n个边界条件确定。

证明 要使（2）式达到最优控制，则有δJ=0，又

将式（4）右边积分中第2项分部积分一次，第3项分部积分两次，第4项分部积分三次有

直到第n项分部积分n次代回δJ得

2.3 分布参数系统

则由定理1该系统在边界条件下达到最优的必要条件为

证明 为使（5）式取极值，应有

又

因此

应用格林公式，将（7）式右边第2个积分化为

由固定边界条件δz=0，（8）式积分为零。于是

又因为

由固定边界条件δz=δzt=δzx=0，应用格林公式得

故

综上，要使δJ=0，有

3 结语

本文给出了3类不同系统取得极值即最优控制［9-10］的必要条件和证明，旨在给今后这3类系统最优控制的求解带来一点方便。该3类系统的讨论都是基于固定边界条件下的，今后可对可动边界以及含约束条件的同类系统作进一步的探讨。

（References）

［1］ 朱肖伟.最优控制理论与应用中的若干问题［M］.北京:科学出版社，2007:70-83.

［2］ 贾广全，孔淑兰.有输入时滞的最优控制系统［J］.曲阜师范大学学报:自然科学版，2013，39（1），51-54.

［3］ 周佳妮，朱经浩.奇异线性二次最优控制的线性迭代计算方法［J］.同济大学学报:自然科学版，2013，41（4）:637-640.

［4］ 梁秀娟，嵇海旭.用变分法实现现代控制系统中的最优控制［J］.装备制造技术，2013（2）:73-74.

［5］ 唐旭清，翁昊年.变分法在最优控制问题中的一个应用［J］.江南大学学报:自然科学版，2003，2（5）:521-524.

［6］ 董丽华.最大值原理在求解无限时域最优控制问题中的应用［J］.江汉大学学报:自然科学版，2009，37（1）:24-25.

［7］ 张莲，胡晓倩，王彬，等.现代控制理论［M］.北京:清华大学出版社，2008:314-323.

［8］ 朱肖伟.最优控制理论与应用中的若干问题［M］.北京:科学出版社，2007:70-83.

［9］ 陈勇，韩波，肖龙，等.多尺度全变分法及其在时移地震中的应用［J］.地球物理学报，2010，53（8）:1883-1885.

［10］耿少波，石雪飞，阮欣，等.增设广义位移下箱梁剪力滞效应的变分法［J］.同济大学学报:自然科学版，2010，38（9）: 1276-1278.

（责任编辑:胡燕梅）

Necessary Conditions of Optimal Control Under Fixed Boundary Condition

WU Qunmei
（Wuxi Technology and Professional College，Wuxi 214000，Jiangsu，China）

According to the basic principles of variational method，this paper extends the functional extreme.Also，three different systems to obtain the necessary conditions for optimal control and their proof are given.

functional variation；functional extreme；optimal control

O177.92；O232

A

1673-0143（2015）05-0410-04

10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.05.006

2015-05-20

吴群妹（1981—），女，讲师，硕士，研究方向：高等数学、应用数学、最优控制。