几类函数的留数定理
2015-09-02汤俊肖红河学院数学学院云南蒙自661199
何 萍,汤俊肖(红河学院 数学学院,云南 蒙自 661199)
几类函数的留数定理
何 萍,汤俊肖
(红河学院 数学学院,云南 蒙自 661199)
留数;对数留数;共轭
1 引言及结论
留数在复变函数论及实际应用中都是十分重要的,其和计算积分的问题有密切关系,可以把计算实积分或周线积分转化为计算留数。
在实际应用中,会发现定理A和定理B对计算积分的范围不广,为了便于计算,本文给出了定理1和定理2,分别对定理A和定理B进行了改进。
2 相关引理
引理2[4]设 P(z)=a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an,Q(z)=b0zm+b1zm-1+…+bm-1z+bm,其中ai∈R,bj∈R,i=0,1,2…,n,j=0,1,2…,m,且Q(z)≠0,则有
3 定理的证明
3.1 定理1的证明
证明 (Ⅰ)因为a为 f(z)的m阶零点,则在点a的邻域内有 f(z)=(z-a)mg(z)成立。其中g(z)在点a的领域内解析,且g(a)≠0,由于
则
所以
同理可证明定理1(Ⅱ)。
3.2 定理2的证明
所以
根据引理1有
而
所以(2)式可写为
则
同理,
根据引理2,结合引理3有
证毕。
(References)
[1] 张忠诚,王成.对数留数定理的推广及应用[J].洛阳大学学报,2006,21(2):20-22.
[2] 李明泉.实系数有理分式函数的共轭复极点的留数[J].安庆师范学院学报:自然科学版,2007,13(4):96-98.
[3] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2004:108.
[4] 同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2002:100-101.
[5] 钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2004.
(责任编辑:胡燕梅)
Theorem of Residue of Several Functions
HE Ping,TANG Junxiao
(Department of Mathematics,Honghe University,Mengzi 661199,Yunnan,China)
residue;logarithmic residue;conjugate
O174.52
A
1673-0143(2015)05-0401-04
10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.05.004
2015-05-15
国家自然科学基金资助项目(11301160);云南省自然科学基金资助项目(2013FZ116);红河学院后备人才项目(2014HB0204);红河学院博士科研项目(14bs18);红河学院专业带头人科研项目(ZYDT1308);红河学院科研基金资助项目(XJ14Y05);红河学院双语课程项目(SYKC1404)
何 萍(1981—),女,副教授,硕士,研究方向:复分析。