一个非线性系统的输出机动控制初探

苗超 边艳华

摘 要：在实际工程控制问题中，我们不仅仅要求轨迹控制，很多时候要求过程的动态控制，也就是输出的机动控制，其比一般的跟踪问题更具有普遍的意义，本文选取一个非线性系统，依此系统尝试其输出机动控制的探究。

关键词：非线性系统；机动控制

在很多的实际工程控制问题中，例如轮船跟踪航标问题，机器臂的动作控制问题，再比如，一辆自动驾驶的汽车，不仅要使汽车能顺利的沿着轨迹行驶，而且使它在合适的时间能够到达目的地。这种情况实际上是控制问题的两个任务，第一个任务叫做几何任务，第二个任务叫做动态任务，一般情况指速度控制。这就是输出机动控制问题，不仅考虑一般路径跟踪，同时也涉及到控制目标的动态行为（即速度）。输出机动控制要比一般的跟踪问题更具有普遍的意义，对控制问题的研究也有重大的理论价值和意义。本文选取一个非线性系统，对其输出机动控制问题进行初探。

1 问题的描述

考虑如下非线性系统：

其中12（，）nnxxxxRΤ=∈.是系统（1）的状态向量，系统（1）的输入和输出则分别由uR∈和yR∈来表示，12（，）pθθθΤΘ=.为p维的未知常参数向量，在控制器的设计过程中，我们需要对它进行估计，（，）iiixxΦ.为已知光滑非线性函数向量。

2 输出机动控制的探究过程

我们的控制目标是对系统（1）设计光滑自适应机动控制器，从而解决系统（1）的实用输出机动控制问题。为此我们要完成两个任务[1]：1、几何任务；2、动态任务。首先要设定（

）rytθ是理想的参数化参考路径，（

，）svttθ是理想的跟踪速度。其中θ是路径变量。

假设1[1]：参考路径

iyθ及其n阶偏导数在R上一致有界，其速度任务（，）svtθ及其1n.阶偏导数关于θ与一致有界。

任务一：机动控制的几何任务

第一步：引入误差变量（，，）（，）sstvtωθθθθ=...

令11rzxy=.， 221zxα=.

则11rzxy=....2111

rrssyyzxvαωθθΤ..++ΦΘ.+..

构造Lyapunov函数2111122VzrΤ=+ΘΘ..

其中r为常数，并且0r>，.Θ=Θ.Θ.，.Θ是Θ对的估计

则V的时间导数为

1111.VzzrΤ=.ΘΘ....=12111111.（

）rrssyyzzzxvzrαωθθΤΤ..++ΦΘ.+.ΘΘ....

令虚拟光滑控制律为 21111111.rsyczkzvαμθΤ.=..ΘΦ.+.

取调节函数 111rzτ=Φ 11ryzηθ.=.

那么

211112111111.rsyVczzzzzzrωθΤ∧ΤΤ.=.++ΦΘ.ΘΦ+.ΘΘ....

21112111.

sczzzrτωηΤ≤.++Θ.Θ+..

以此思路，最后一步设计：

我们构造Lyapunov函数 2112nnnVVz.=+

因为 1nnnzxα.=.

所以1nnnzxα.=.... 1nnnnVVzz.=+...

取光滑控制律为：

11111111111.

.nnnnnnnnnnnjjsnjjjjuczzxvxxtααααατθ..Τ......+==.....=...ΘΦ.ΣΦ+Σ+++.....Θ

111112

.nnjnnjjjjjrzxαα....==..+Φ.ΣΦΣ..Θ

取调节函数：

1111

nnnnnnjjjrzxαττ...=.=+Φ.Φ.Σ11nnnnzαηηθ...=+.

那么

2111111..

.nnnjjnnnnjVczzrrατττΤΤ...=.≤.+Θ.Θ+Θ..Θ.ΘΣ.....

11111111122.

..nnnjjnnnnnnjjjnnsjjjjzrzzzxααααττηω........∧===....++Φ.ΣΦΣ+Σ.Θ+..Θ.Θ.Θ.

如果选取调节函数 .nτΘ=.，得

21nnjjnsjVczηω=≤.+Σ.

任务二：机动控制的动态任务

對于速度误差变量sω，我们有如下设置[2]：

1）跟踪控制律：假若有0sω=，那么（，）svtθθ=.，速度任务得到满足，能够完全达到速度跟踪目的。

2）梯度调节律：令snωμη=.其中0μ≥，满足速度任务。

因 11ninniiVzαηθθ.=..=Σ=...

从而此设置可称为梯度调节律。相应的，机动控制的动态部分变为

（，）（，）nsnsVvtvtθθμηθμθ.=+=...

3）基于滤波形式的梯度调节律

将第任务一中最后一步中的Lyapunov函数进行推广

2012nsVVωδ=+，并且对V关于时间进行求导，可得

01nssVVωωδ=+...2101

njjnssjczηωωδ=≤.++Σ.

保证上式的第三项成为非负项，选择梯度调节律为

0ssnlωωδη=...

而这样控制的动态部分就相应地变为

（

，）（，，）ssvtttθθωθθ=... 0ssnlωωδη=...

参考文献

[1] Skjetne R， Fossen T I， Kokotovic P V. Robust output maneuvering for a class of nonlinear systems[J]. Automatica 2004， 40（3）： 373-383.

[2] 边艳华.一类非线性系统的实用输出机动控制[D].山东：曲阜师范大学，2012.