基于奇异值分解的DWT域数字水印算法

戈美净 王青云 温国强

（天津中德职业技术学院 航空航天与汽车学院，天津300350）

随着计算机和网络技术的发展，大量的多媒体信息都可以通过网络被人们轻松地访问、拷贝和传播。因此，用来保护多媒体数据版权的数字水印技术成为近年来的研究热点。

关于此技术国内外已发表了大量相关文章，但原理基本相同，即在时/空域或变换域中选择合适的系数进行微小改动，从而达到将水印隐藏在载体图像中的目的。根据工作域的不同，可以分为空域/时域水印和变换域水印［1］。一般来说，变换域算法相对空域算法来说，复杂度高，但可嵌入水印数据量大、透明性好、安全性也高，因此得到了广泛研究与应用。

在众多变换域算法中，小波变换的空间-频率定位特性和多分辨率特性可以保证所嵌入水印的鲁棒性，空间-频率特性与HVS某些视觉特性的相似性可以将高强度的水印嵌入到HVS不太敏感的区域。因此本文在小波域进行水印的嵌入。但对图像进行小波分解后，由于低频部分包含了图像的大部分能量，如果将图像嵌入低频子带，图像鲁棒性较好，可以抵抗大多常规攻击。但同时正因为低频分量直接影响着图像的质量，水印嵌入容量过大会直接影响图像的视觉效果［2］。为了解决此问题，考虑将水印嵌入到原始载体图像的奇异值中［3-4］。

根据线性代数中的矩阵相关理论：对矩阵进行奇异值分解后，大的奇异值对应矩阵中的主要信息，运用SVD进行数据分析来提取其中的主要部分是合理的。基于以上奇异值分解的性质，在数字图像处理中应用SVD可以保证：①图像奇异值的稳定性非常好，即当图像被施加小的扰动时，图像的奇异值不会有大的变化；②奇异值所表现的是图像的内蕴特性而非视觉特性；这一点说明了改变奇异值不会产生大的视觉变化，这为不可见性提供了保障。经过大量的实验表明，最大奇异值在经受一般攻击后变化不大，因此该文的算法正是通过改变奇异值来实现水印嵌入［5］。

鉴于以上分析，本文结合Arnold变换对攻击的分散，提出了一种基于SVD的小波域图像数字水印算法。该算法首先将图像进行小波变换，然后对低频系数进行奇异值分解，再将经Arnold变换后的水印嵌入得到的奇异值中，从而得到带水印的图像。实验表明：该图像有较好的鲁棒性和抗攻击性。

1 算法描述

为了提高嵌入水印的鲁棒性，要求在嵌入尽量多水印的前提下具有较强的抗攻击性。需要从变换域、水印预处理和水印嵌入强度3个方面来分析。首先，由于本算法在小波域中进行水印嵌入，考虑到小波的低频子带系数较大，聚集了图像的大部分能量，嵌入水印后不可见性较差，但鲁棒性较好；高频子带描述了图像的细节部分，嵌入水印后不可见性较好，但鲁棒性较差。平衡这两方面，考虑在二级小波子带LH2（即图像的中低频区域）的奇异值中嵌入水印，以达到较好的效果。接着，为了保证水印的鲁棒性，考虑到Arnold变换不仅具有良好的分散攻击性能，并且相对于其他图像加密方法有计算量较小和较好的置乱度的优点，因此在嵌入水印前，对水印作Arnold变换的预处理。最后来分析嵌入强度，本文采用二值图像作为水印，在选择的嵌入系数中，直接将水印嵌入到中低频子带全部奇异值中，实验中分别选择了f=0.03，f=0.04和f=0.05进行效果比较，得到用f=0.04作为控制因子仿真效果最好。

1.1 水印的生成（Arnold图像置乱）

为了水印的安全性，本文采用Arnold变换作为水印嵌入的预处理，对水印图像作时域上的变换，目的是对水印信息进行乱序，达到加密的效果。Arnold变换也称猫脸变换，原意为catmapping，其定义：假设对于平面单位正方形内的所有点，作如下变换：

式中，k为一个控制参数，N是矩阵的大小，（x，y）表示像素点在变换前后的位置。设P表示二值水印信息组成的一个m*m的矩阵，对每一个点的坐标作AN（k）的变换之后，这个m*m的矩阵就变成一个N*N的矩阵。矩阵的每个元素的值为0或1。如果变换AN（k）有周期T，那么（x，y）经过T次变换之后，就能回到原始位置。因此，如果点（i，j）进行了n次AN（k）变换，它还需要作T-n次变换，就可以将（i，j）重新恢复到原始位置。

在Arnold变换中，式中的k与次数n构成数对（n，k），正好可以成为置乱的密钥，本文算法中k取值为1［6-7］。

1.2 水印嵌入

设X代表大小为M×M的原始图像，W代表大小为N×N水印图像，一般的，基于小波多级分解的特点考虑，水印尺寸的选择要小于原始图像尺寸，并且满足M≥2PN（p为正整数）。在本文算法中，对小波进行二级分解，水印大小M≥4N即可，算法中会对水印进行放大操作处理，因此对水印图像的尺寸要求不是很严格，适应性较强。据以上分析，具体水印嵌入算法如下：

1.2.1 读入原始载体图像X和原始水印图像W；

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1.2.2 采用Arnold变换对水印图像进行置乱加密，得到加密后水印W ，其中置乱次数k作为密钥保存；

1.2.3 对载体图像进行二级小波分解，得到不同分辨率下的细节子图和一个逼近子图，其中，j=1，2表示分解的级数，k=1，2，3分别表示该分辨率级下的水平方向、垂直方向和对角线方向的3个细节子图；

1.2.6 再对中间矩阵Temp进行奇异值分解Temp=U1S1V1T，得到对角矩阵S1，通过反变换US1VT得到嵌入水印后的二级低频子带（X）；

1.3 水印提取

显然，数字水印的提取是其嵌入的逆过程，本算法在提取时需要借助原始载体图像的一些信息，水印的提取过程如下:

1.3.1 对含水印图像XW进行二级小波分解，得到不同分辨率下的细节子图和一个逼近子图

1.3.3 结合嵌入过程中得到的中间矩阵Temp奇异值分解后的正交矩阵U1、V1，矩阵U1、V1和SW相乘得到Temp=U1SWV1T

1.3.4 利用嵌入步骤（4）和（5）中的S和f，提取嵌入的已置乱的扩大后水印WW*，WW*=（Temp-S）/f；

1.3.5 将WW*缩小到与原始水印一样大小，得到置乱水印W*；

1.3.6 对W*进行Arnold变换（从第n+1次到第T次，共T-n次），即可得到最终提取出的印W。

2 实验结果与分析

为验证算法有效性，实验在MATLAB平台上进行仿真，采用384×384的灰度图像Lena作为载体图像，见图1（a），水印为75×75的二值图像，见图1（b），考虑到对载体图像进行二级小波分解，满足384＞75*4。

图1 原始载体图像与水印图像

图2 嵌入水印前与嵌入水印后

对算法进行剪切39.1%、图像增亮、增加对比度、加入高斯噪声（均值为0、方差为0.05）、加入乘积噪声（均值为0、方差为0.05）、旋转45°等攻击，所提取的水印均得到了较好的效果，如图3和表1。

图3 图像攻击与提取出水印

表1 常规攻击下提取的水印NC值

3 结语

本文将小波分解与奇异值分解相结合，同时利用Arnold图像置乱技术消除像素间的相关性，将水印嵌入到经过小波分解的子带的部分奇异值中，实现水印嵌入。实验证明，该算法在抵抗各种攻击方面具有非常理想的鲁棒性，可以抵抗剪切、图像增亮、高斯噪声、旋转等常规攻击，同时算法具有良好的不可见性。

［1］Christine I.Podilchuk，Edward J.Delp.DigitalWatermarking：Algorithms and Applications［J］.IEEE Signal Processing Magazine.2001：33－46.

［2］周鹏颖，沈磊.基于小波—奇异值分解的数字水印新算法［J］.计算机应用研究，2010，27（5）：1896-1897，1910.

［3］王树梅，赵卫东，王志成.基于SVD的图像数字水印技术研究［J］.计算机工程与设计，2008，29（11）：2834-2837.

［4］刘瑞祯，谭铁牛.基于奇异值分解的数字图像水印方法［J］.电子学报，2001，29（2）：168-171.

［5］徐慕蓉，樊锁海.一种新的基于奇异值分解的图像数字水印算法［J］.计算机仿真，2011，28（5）：291-294.

［6］丁玮，阎伟齐，齐东旭.基于Arnold变换的数字图像置乱技术［J］.计算机辅助设计与图形学学报，2001，13（4）：338-341.

［7］马在光，丘水生.基于广义猫映射的一种图像加密系统［J］.通信学报，2003，24（2）：51-57.