借助函数形态作图之浅见

张美花

（厦门华天涉外职业技术学院基础部）

一、函数现代概念

若对集合M 的任意元素x，总有集合N 确定的元素y 与之对应，则称在集合M 上定义一个函数，记为y=f（x）。元素x 称为自变量，元素y 称为因变量。

二、函数的形态

1.单调性

设函数f（x）的定义域为D，区间I 包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1＜x2），则称函数f（x）在区间I 上是单调递增的；如果对于区间I 上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1＞x2），则称函数f（x）在区间I 上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

2.奇偶性

设f（x）为一个实变量实值函数，若下列的方程对所有实数x都成立：f（x）=-f（-x）则f（x）为奇函数。几何上，一个奇函数关于原点对称。

设f（x）为一实变量实值函数，则f（x）为偶函数，若下列的方程对所有实数x 都成立：f（x）=f（-x）。几何上，一个偶函数关于y轴对称。

3.周期性

设函数f（x）的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任意x∈D 有（x±T）∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，T 称为f（x）的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域D 为至少一边的无界区间，若D 为有界的，则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。

4.有界性

设I 为函数f（x）的定义域内的某一区间，若存在正数M，使得对一切x∈I，都有≤M，则称f（x）为区间I 上有界，否则称f（x）为区间I 上无界。

5.连续性

在数学中，连续是函数的一种属性。直观图象上说，连续的函数是连绵不断的一条线，也就是一笔可以画完无需间断的曲线。

函数在点x0处连续可定义：如果函数y=f（x）在x0的某一个邻域内有定义，且，则称函数y=f（x）在点x0连续。不用极限的概念，也可以这样表达：对任意给定的ε＞0，总存在δ＞0，当＜δ 时有

6.凹凸性

设函数f（x）在I 上连续。如果对于I 上的两点x1≠x2，恒有那么称f（x）是区间I上的（严格）凸函数；如果恒有那么称f（x）是区间I 上的（严格）凹函数。

三、函数的基本作图方法

讨论了函数的各种形态，综合讨论就可以做出函数图象的一般步骤如下：

（1）确定函数的定义域，找出间断点。

（2）求出曲线和坐标轴的交点。

（3）确定曲线关于坐标轴的对称性。

（4）令一阶导数等于0，求出函数的驻点，并算出各驻点的函数值。判断函数的单调区间并求出极值。

（5）确定函数的凹向区间和拐点。

（6）求出曲线的渐近线。

（7）列出x、f′（x）、f ′′（x）、f（x）的关系图。

（8）根据关系图和函数的相关性质，描绘函数大致图象。

四、实例解析

解：（1）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）。

（2）函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性。有助于合理的语言输出，这是语言学习的普遍规律。先通过听力部分引起学生对情景的了解，再通过对话，让学生进行口语练习，语言和情景相交融，最大限度地还原语言活动的真实场景。

此外，Songs in each unit部分，每一个单元的歌曲都对应该单元的内容主题。小学生在听歌的过程中非常容易记住所学知识，因为小学生爱说、爱唱，这些歌曲富有节奏感，朗朗上口，他们的学习热情很快就能被调动起来，而且这也是寓乐于学，劳逸结合的方式，学生既可以快乐地学习，又可以在歌曲中得到放松。

在Read and Write和Story Time部分涉及一些中外文化对比和有关国外文化特色和风俗习惯类的知识，如第二单元Story Time部分涉及中外饮食和交通规则的不同。这样既能开阔学生的眼界，增长知识，又能激发他们学习英语的兴趣和对外国文化的探索欲望，有助于对中外文化形成正确、全面的认识，增加人文情怀。

小学英语教材对小学生英语学习具有深远的影响，因此，必须在认真研究小学生认知发展规律的基础上，结合英语教学目标进行编写。由于英语是一门外语，我国小学生在学习英语时缺乏必要的语言环境，使英语学习严重依赖于课堂教学和教科书的使用。因此，英语教材应该提供大量的语音资料，这样能尽量为学生还原英语的实际应用情境，也符合语言学习“先听后说”的认知规律。

从语言学习的角度看，教材应该为学生提供各种各样的活动和任务，使学生能够使有现有的知识（包括语言水平，与年龄有关的心理特征，认知能力和先前的学习经历）进行语言学习和沟通交流。这些活动有助于激发学生的学习兴趣和学习动机。只有学生感兴趣，他们才愿意投入时间和精力学习。激发学生的学习兴趣是使他们变被动学习为主动学习的关键。同时具有极强学习动机的学生能够激活英语学习潜能，使学生取得优秀的成绩，这样学生将对英语学习充满信心。