左弱Π-凝聚环左WFGT-内射模维数有限性研究

张金羽

（河南工业大学理学院）

一、弱Π-凝聚环相关定义

定义1.1 设A 为左R-模，若A 为f.g.的，且A 的每个f.g.子模为f.p.的，则称模A 为凝聚模。

定义1.2 设R 为环，若R 作为左R-模为凝聚的，则称R 为左凝聚环。

类似地，可定义右凝聚环。

定义1.3 令Π=ΠRR 为任意个RR 的积，若Π 的每个f.g.子模为f.p.的，则称环R 为左Π-凝聚环。

二、左WFGT-内射模相关定义

定义2.1 设R 为环，E 为左R-模，若对任意f.g.弱余生成左R-模B，都有Ext1R（B，E）=0，则称E 为左WFGT-内射模。

若R 为左弱Π-凝聚环,则每个f.g.弱余生成左R-模为f.p.的。所以，左弱Π-凝聚环上的FP-内射模一定是左WFGT-内射模。

定义2.2 设R 为环，若对R 的任意单侧理想I，R/I 为弱余生成的，则称R 为WD-环。

命题1：（1）设R 为左弱Π-凝聚环，若每个左WFGT-内射模为内射模，则R 为左Noether环。

（2）设R 为WD-环，则WFGT-内射模与内射模一致。

（2）设I 为R 的任意左理想，而R 为WD-环，故R/I 为f.g.弱余生成左R-模，若E 为任意左WFGT-内射模，则Ext1R（R/I，E）=0，故由Baer 准则E 为内射模。

命题2：设R 为环，E 为左R-模，则下列陈述等价：

（1）E 为WFGT-内射模；

（2）若B 为f.g.弱余生成左R-模，则任意正合列0→E→A→B→0 为分裂的；

（3）若K 为f.g.自由左R-模F 的弱闭子模,则K 到E 的每个左R-同态，均可扩张成F 到E 的左R-同态。

证明：（1）⇒（2）若E 为WFGT-内射模，因B 为f.g.弱余生成模，故（B，E）=0，对正合列0→E→A→B→0 应用上同调长正合列定理可得正合列：

0→HomR（B，E）→HomR（A，E）→HomR（E，E）→0，

故0→E→A→B→0 为分裂正合的。

（2）⇒（1）设B 为任意f.g.弱余生成左R-模，因此，B 经E 的扩张为0→E→A→B→0，由题设知这个正合列为分裂正合的，得（B，E）=0 故E 为WFGT-内射模。

（1）⇒（3）可由定义得知。

［1］周伯勋.同调代数［M］.北京：科学出版社，1988：18-19.

［2］佟文廷.同调代数引论［M］.北京：高等教育出版社，1998：56-57.

［3］Victor Camilio.Coherence for polynomial rings.J Algebra，1990，132（1）.