马蹄形隧洞断面收缩水深迭代公式推求及程序实现

雷 娟，张 华（.陕西渭南市洛惠渠管理局，陕西渭南7500；.陕西省渭南市石堡川水库灌溉管理局，陕西澄城7500）

马蹄形隧洞断面收缩水深迭代公式推求及程序实现

雷 娟1，张 华2
（1.陕西渭南市洛惠渠管理局，陕西渭南715100；
2.陕西省渭南市石堡川水库灌溉管理局，陕西澄城715200）

为了解决马蹄形隧洞收缩水深不易计算的问题，本文首先引入恰当的无量纲参数 ，使各种马蹄形断面收缩水深的计算公式统一化，从理论上推求得到了马蹄形断面收缩水深的迭代计算公式，然后针对实例采用MATLAB语言进行编程计算，通过应用实例可证明，编程方式能很好的解决马蹄形断面收缩水深计算公式复杂的问题，该方法简单、准确、通用，能为工程设计提供较为简便的计算方法。

马蹄形；收缩水深；迭代公式；MATLAB语言

收缩水深是水力学中的一个重要参数，是消能设计及判定水跃起始位置的前提，在灌溉排水工程、水电工程中经常遇到，有较高的精度要求。马蹄形过水断面受力特性及水力条件好而被广泛应用于各种输水工程中，是无压输水隧洞的常用断面形式。目前对矩形［1-2］、闸坝［3］、城门洞［4］、抛物线［5］、立方抛物线［6］、梯形［7-8］等断面的收缩水深均有较多成果，得到了不少通用的好公式。但对马蹄形隧道的研究主要集中在临界水深和正常水深［9-11］，文献［12］得到了复杂的不便于实际应用的收缩水深公式，文献［13］得到了误差较大的分段求解的公式。本文将常用的标准Ⅰ型和标准Ⅱ型的水力要素统一到一起来进行计算，通过引入恰当的无量纲参数统一了两种断面形式的几何要素，得到其收缩水深的迭代公式，进而利用MATLAB语言计算得到收缩水深的精确解。

1 马蹄形断面收缩水深基本方程

1.1 基本方程

收缩断面的基本方程为:

式中:E0为从收缩断面底算起上游总水头（m）；hc为收缩水深（m）；Q为断面流量（m3/s）；g为重力加速度，通常取9.81 m/s2；φ为流速系数，通常取0.95；Ac为收缩断面面积（m2）。

1.2 马蹄形断面形式

马蹄形断面主要由底拱、顶拱和侧拱三部分衔接而成 ，工程上较常用的是标准 Ⅰ型和标准 Ⅱ型马蹄形断面，即为几何断面中R与r比值分别为3和2时所对应的图形，图1（a）、图1（b）、图1（c）依次为水流在底拱、侧拱、顶拱范围内时的示意图。

1.3 马蹄形断面隧洞收缩水深迭代公式推导

马蹄形断面最常用的是标准 Ⅰ型和标准 Ⅱ型两种断面形式，标准 Ⅰ型R=3r，标准 Ⅱ型R= 2r。现提出无量纲参数:

图1 马蹄形断面示意图

即λ=3为标准Ⅰ型断面，λ=2为标准 Ⅱ型断面；查阅相关资料［12］，标准 Ⅰ型马蹄形断面，θ= 0.294515；标准 Ⅱ型马蹄形断面，θ=0.424031；水深处于以上图示三个不同位置，其过水断面面积Ac表达式均不相同:

水深 hc在图示三个不同水深范围的表达式也不一样:

将式（3）、式（4）代入式（1），得到收缩断面基本方程 :

2 马蹄形断面收缩水深的迭代公式

2.1 分界流量

先计算:

当h=r时，

2.2 迭代公式

（1）当0≤h≤e或0≤Q≤Qe

（2）当e＜h≤r或Qe≤Q≤Qr

（3）当r＜h≤2r或Q≥Qr

3 算 例

某输水隧洞断面采用标准Ⅰ型马蹄形断面，已知上游总水头 E0=12 m，r=7.5 m流速系数 φ= 0.95，分别计算流量 Q=70 m3/s，Q=210 m3/s，Q= 1 000 m3/s时该马蹄形断面进水口处的收缩水深。

解:首先根据已知参数计算以下常数值:

θ=0.294515，λ=3，Qe=118.4 m3/s，Qr=912.8 m3/s

3.1 计算0＜Q＜Qe时的收缩水深

因70 m3/s＜Qe=118.4 m3/s，先利用式（9）计算底拱水深对应的角度β:

%创建符号变量及赋值

syms beta Q PHI lamda r g e

e=12；r=7.5；Q=70；lamda=3；g=9.81；

PHI=3；

%输入计算方程

f=beta-sin（beta）*cos（beta）-Q/PHI/（lamda^ 2）/（r^2）/（2*g*（e-lamda*r*（1-cos（beta））））^ 0.5；

%计算底拱上水深对应的角度

f=solve（f）；

vpa（f，10）

ans=0.2456564994

把底拱上水深对应的角度 ，代入式（4）中第（1）式:

hc=lamda*r*（1-cos（ans））

hc=0.6754977715

得Q=70 m3/s时的收缩水深为0.6754977715 m。

3.2 计算 Qe＜Q≤Qr时的收缩水深

因 Qe=118.4 m3/s＜210 m3/s＜Qr=912.8 m3/s，先利用式（10）计算侧拱水深对应的角度α:

%创建符号变量及赋值

syms alpha theta lamda PHI r Q e g

e=12；r=7.5；g=9.81；theta=0.294515；

lamda=3；Q=210；PHI=0.95；

%输入计算方程

f=alpha-2*theta-tan（theta）*（sin（theta））^2 +sin（theta）*cos（theta）+tan（theta）*（1-1/lamda）^ 2+sin（alpha）*

cos（alpha）-2*（1-1/lamda）*sin（alpha）+Q/ PHI/（lamda^2）/（r^2）/（2*g*（e-r*（1-lamda*sin （alpha））））^0.5；

%计算侧拱上水深对应的角度

f=solve（f）；

vpa（f，10）

ans=0.2702765298

再代入式（4）中第（2）式:

alpha=0.2702765298

hc=r*（1-lamda*sin（alpha））

hc=1.492546398

得到Q=210 m3/s时的收缩水深为1.492546398 m。

3.3 计算 Q＞Qr时的收缩水深

因1000 m3/s＞Qr=912.8 m3/s，先利用式（11）计算侧拱水深对应的角度

%创建符号变量及赋值

syms PHI pi lamda theta Q r phi g e

e=12；Q=1000；g=9.81；r=7.5；PHI=0.95；pi=3.1415926；lamda=3；theta=0.294515；

%输入计算方程

f=phi-pi-4*（lamda）^2*theta+2*（lamda-1）^2*tan（theta）-sin（phi）+2*lamda*sin（theta）* cos（theta）+2*

sin（theta）*sin（theta）*tan（theta）*（lamda）^2+ 2*Q/（PHI*r^2）/（2*g*（e-r*（1+cos（phi/ 2））））^0.5；

%计算侧拱上水深对应的角度

f=solve（f）；

vpa（f，10）

f=solve（f）；

ans=2.226395369

再代入式（4）中第（2）式:

hc=r*（1+cos（ans/2））；

vpa（hc，10）

ans=10.81346315

以上算例摘自文献［12］中算例 ，与原文对比，计算结果正确且精度度更高，因而本文所使用的方法正确，且精度高。

4 结 论

本文利用无量纲参数统一了各种断面形式的马蹄形断面的几何参数，从理论上推求得到了马蹄形断面收缩水深的迭代公式，并且计算出了判别收缩水深范围的分界流量。然后通过实例，首先计算得到分解流量，后利用MATLAB语言进行编程计算，经与原例对比发现计算结果精确，其过程简单 ，方法易于掌握，与已有的迭代法、分段函数法相比较均有一定的优势，MATLAB其强大的数据处理和计算功能，

在水力计算中能够得到很大的发挥空间，其强大的优势当可在水利工程中得到更大的应用和推广。

［1］ 王正中，雷天朝.矩形断面收缩水深简捷计算公式［J］.人民长江 ，1996，27（9）:45-46.

［2］ 赵延风，王正中，孟秦倩.矩形断面收缩断面水深的直接计算方法［J］.人民长江，2008，39（8）:102-103.

［3］ 孙 建.溢流坝或闸下出流收缩水深的直接计算公式［J］.西北水资源与水工程，1996，7（1）:16-21.

［4］ 赵延风，宋松柏，孟秦倩.城门洞形断面收缩水深的近似计算公式［J］.节水灌溉，2007（8）:22-23.

［5］ 文 辉，李风玲.抛物线断面渠道收缩水深的解析解［J］.长江科学院院报，2009，26（9）:32-33.

［6］ 文 辉，李风玲.立方抛物线断面渠道收缩水深的直接计算方法［J］.人民长江，2009，40（13）:58-59.

［7］ 赵延风，王正中，芦 琴.梯形断面收缩水深的直接计算公式［J］.农业工程学报，2009，25（8）:24-27.

［8］ 王正中，雷天朝，宋松柏，等.梯形断面收缩水深计算的迭代法［J］.长江科学院院报，1997，9（3）:15-16.

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［10］ 王正中，陈 涛，芦 琴，等.马蹄形断面隧洞临界水深的直接计算［J］.水力发电学报，2005，24（5）:95-98.

［11］ 张宽地，吕宏兴 ，陈俊英.马蹄形过水断面临界水深的直接计算法［J］.农业工程学报，2009，25（4）:15-18.

［12］ 刘计良，王正中 ，赵延风.马蹄形隧洞断面收缩水深的迭代法计算［J］.农业工程学报，2010，26（S2）:167-171.

［

13］ 滕 凯.马蹄形断面隧洞收缩水深的简易算法［J］.西北水电，2013，（2）:19-23.

［14］ 成都科学技术大学水力学教研室.水力学［M］.北京:人民教育出版社，1979.

［15］ Hu W W.Hydraulic elements for USBR standard horseshoe tunnel［J］.Transportation Engineering Journal of ASCE，1973，99（4）:973-980.

Iterative Formula of Contraction Depth and Its Programming Implementation for Tunnels with Horseshoe Cross-sections

LEI Juan1，ZHANG Hua2
（1.Weinan Luohuiqu Management Bureau，Weinan，Shaanxi 715100，China；
2.Shibuchuan Reservoir Irrigation Administration Bureau in Weinan City of Shaanxi Province，Chengcheng，Shaanxi 715200，China）

In order to solve the difficulty of calculating the contraction depth for tunnels with horseshoe cross-sections，a set of proper dimensionless parameters were introduced to unify a variety of calculating formulas，and then an iterative formula of contraction depth for tunnels with horseshoe cross-sections were derived theoretically.By the calculation of MATLAB language on an actual example，it is demonstrated that programming can solve the complexity of calculating formula of contraction depth for horseshoe cross-section well.It is simple and universal with accurate calculation results，moreover it can provide a comparatively simple calculation method for engineering design.

horseshoe cross-section；contraction depth；iterative formula；MATLAB language

TV131.4

A

1672—1144（2015）02—0218—04

10.3969/j.issn.1672-1144.2015.02.045

2014-10-29

2014-12-19

雷 娟（1979—），女，陕西渭南人，工程师，主要从事水利工程管理工作。E-mail:690904082@qq.com