基于分数阶Kelvin黏弹性模型的固体推进剂药柱应力分析

闫启方，刘林超，闫 盼

(信阳师范学院 土木工程学院, 河南 信阳464000)

0 引言

固体火箭发动机推进剂药柱通常浇筑在金属薄壳内，在点火启动时内压力通常造成推进剂药柱内表面产生裂纹，容易造成发动机点火爆炸事故，因此针对各种形式内压作用下推进剂药柱的力学分析具有十分重要的意义.目前针对内压作用下固体推进剂药柱力学性能的研究多是将推进剂视为黏弹性材料，如王元有[1]提出了一种推进剂药柱在内压力荷载作用下新的黏弹性分析方法；王君祺等[2]考虑固体火箭发动机点火过程压力分布的瞬态非均布特性，结合三维黏弹性有限元法，计算了固体火箭发动机点火工况下的结构完整性；杨月诚等[3]采用有限元法对含人工脱黏层的某固体火箭发动机药柱进行了线黏弹性分析，研究了在工作内压载荷下人工脱黏层和材料泊松比对药柱应力应变的影响.需要指出的是，这些研究都是基于经典黏弹性理论展开的，虽然经典黏弹性模型在描述材料力学特性方面具有直观易懂、物理概念清晰的优点，但由于其在蠕变和松弛的初期与实验数据不能很好吻合,导致其应用和发展受到了一定的限制[4].近20年来，分数导数模型作为一种新型的黏弹性模型，以其精确度高、确定模型所需的实验参数少、应用范围广等优点被应用到结构[5]、岩土[6]、材料[7]、减震隔震[8]、航空[9]等众多工程领域.本文将基于分数阶黏弹性Kelvin模型进行均布内压作用下固体火箭推进剂药柱的应力分析.

1 弹性解

分析图1所示浇筑在圆形内孔中的固体推进剂的应力，推进剂浇筑在金属薄壳内，薄壳的内外半径分别为a和b，药柱空腔内受压为

q(t)=q0H(t),

(1)

其中：q0为药柱空腔所受压力幅值，H(t)为单位阶跃函数.由弹性力学可知，推进剂药柱的径向应力和环向应力分别为[10]

图1 推进剂药柱简化模型Fig. 1 Simplified model of propellant grain

2 分数阶Kelvin黏弹性固体推进剂药柱的应力

考虑推进剂的黏性性质，将推进剂视为黏弹性介质，则有三维黏弹性本构方程为[11]

式中：P′，Q′，P″，Q″为线性微分算子；Sij(t)和eij(t)代表黏弹性材料的应力偏量和应变偏量；σkk(t)和εkk(t)代表黏弹性材料的应力球和应变球张量.假定推进剂体积变形为弹性，则有Q″=3K，K为体积弹性模量.对式(4)和(6)进行Laplace变换则有

P′=1,Q′=G0+G1Dα,

(9)

其中，G0、G1为材料参数，可由实验确定.

考虑零初始条件，则分数阶Riemann-Liouville的Laplace变换式为

L[Dαf(t)]=sαF(s),

(11)

其中，F(s)是f(t)的Laplace变换.对式(7)两端进行Laplace变换则有

利用黏弹性本构关系变换与弹性材料的形式相似性，可得弹性模量和泊松比的拉氏变换为

这里假设推进剂不可压缩，则K→∞，由此可得

对式(4)两端进行Laplace变换，并考虑式(14)可得

对式(1)、(2)和(3)两端进行Laplace变换，运用弹性-黏弹性对应原理,并考虑式(15)可得推进剂药柱径向应力和环向应力的拉氏解为

考虑分数阶导数的性质,有

3 数值算例

图2和图3以数值算例的形式给出了r/a=1.5处推进剂药柱径向应力和环向应力随时间的变化曲线.

图2 径向应力随时间变化曲线Fig. 2 Curves of radial stress changing with time

图3 环向应力随时间变化曲线Fig. 3 Curves of circumferential stress changing with time

图4和图5给出了t=10 s、20 s、30 s、40 s时推进剂药柱径向应力和环向应力沿径向的变化曲线. 图4和图5中横坐标为r/a，相关参数取值为：r/a=1.5，r/a=2，G0=2.3×106，G1=1.05×105，χ=6.9×105.从图中可以看出，推进剂药柱径向应力总是压应力，而环向应力总是拉应力.由图2和图4可知，不管是推进剂药柱径向应力还是环向应力，其绝对值都是随着时间逐渐增大并逐步趋于稳定；分数阶Kelvin黏弹性模型得到的推进剂药柱径向应力和环向应力要比经典Kelvin黏弹性模型得到的径向应力和环向应力小，且分数阶Kelvin黏弹性模型的解可以退化到经典Kelvin黏弹性模型的情况；分数阶导数的阶数α越大，推进剂药柱径向应力和环向应力的绝对值越大，越接近经典Kelvin黏弹性模型的解.由图3和图5可以看出，随着时间的增大，径向应力和环向应力缓慢的增大，且径向应力薄壳越近，其受时间的影响越小，这里因为此时推进剂药柱的径向应力接近薄壳的径向应力，而薄壳为弹性体，其径向应力随时间不变化.

图4 径向应力沿径向变化曲线Fig. 4 Curves of radial stress along the radial variation

图5 环向应力沿径向变化曲线Fig. 5 Curves of circumferential stress along the radial variation

4 结论

本文在固体推进剂药柱均布内压作用下应力弹性解的基础上，考虑分数阶导数的Laplace变换及性质，运用弹性-黏弹性对应原理求解了分数阶Kelvin黏弹性模型描述的固体推进剂药柱应力的时域解.通过数值算例分析主要得到以下结论：(1)、固体推进剂药柱应力的分数阶Kelvin黏弹性解可以退化到经典Kelvin黏弹性解；(2)、分数阶黏弹性模型在描述推进剂药柱力学行为方面要比经典黏弹性模型的应用范围广；(3)、径向应力越接近薄壳，其受时间的影响越小.