离散p-Laplace系统周期解的存在性

薛艳昉，廖家锋

(1.信阳师范学院 数学与信息科学学院, 河南 信阳 464000;2.遵义师范学院 数学与计算科学学院, 贵州 遵义 563002)

0 引言

随着计算机科学的应用和发展，差分方程和离散系统的理论研究也越来越受到重视，特别是对差分方程周期解的研究成果较为丰富(参见文献[1-9]等).研究的方法主要是不动点定理、临界点理论等，其中文献[1]在次二次条件下，讨论了离散Hamilton系统周期解的存在性；文献[10]运用鞍点定理讨论了p-Laplace系统解的存在性；文献[11]在非线性项有一部分是次线性的条件下，得到了二阶Hamilton系统周期解的存在.受文献[1,10-11]的启发，本文考虑离散p-Laplace系统周期解的存在性，所得结果推广了文献[1]中的相关结论.

1 预备知识

考虑下面的离散p-Laplace系统(差分方程组)：

Δ(φp(Δu(t-1)))+▽F(t,u(t))=0,∀t∈Z,

(1)

其中:Δu(t)=u(t+1)-u(t);φp(s)=|s|p-2s,p>1;F:R×RN→R,Z是正整数集，F(t,x)关于x是连续可微的,关于t是T周期的(T>0);▽F(t,x)表示F(t,x)关于x的梯度.

定义HT={u:Z→RN,u(t+T)=u(t),t∈Z},则HT为Banach空间，其上的范数为

及

此处|·|表示RN中通常的范数.对u∈HT，令

众所周知，系统(1)的周期解等价于泛函φ(u)的临界点,下面的定理就是通过临界点理论,寻找φ(u)的临界点，从而得到系统(1)的周期解.

2 主要结果及证明

定理1 假设F(t,x)满足

(F1)F(t+T,x)=F(t,x);

(F2) 对所有t∈Z[1,T],当|x|→∞时,有

(F3) 对所有t∈Z[1,T],当|x|→∞时,有

(▽F(t,x),x)-pF(t,x)→-∞,

则系统(1)至少有一个T周期解.

证明首先说明φ满足(C)条件,即对任意序列{uk}⊂HT,若φ(uk)有界,并且当k→∞时,

(1+‖uk‖)·‖φ′(uk)‖→0,

则{uk}有一个收敛的子列.

假设{uk}⊂HT,φ(uk)有界,并且当k→∞时,

(1+‖uk‖)·‖φ′(uk)‖→0,

则存在M0>0使得

|φ(uk)|≤M0,(1+‖uk‖)·‖φ′(uk)‖≤M0,

从而有

-(p+1)M0≤pφ(uk)-‖uk‖·‖φ′(uk)‖≤

pφ(uk)-〈φ′(uk),uk〉=

则{uk}有界.事实上,如果{uk}无界,则存在M1>0及{uk}的子序列(仍然用{uk}表示),使得当t∈E0时,

|uk(t)|→∞(k→∞)，

其中E0是Z[1,T]的非空子集,Z[1,T]=Z∩[1,T],Z是整数集.

当t∈Z[1,T]-E0时,|uk(t)|≤M1;当t∈E0时,由(F3)知，当k→∞时,有

(▽F(t,uk(t)),uk(t))-pF(t,uk(t))→-∞.

因为F连续可微,所以当t∈Z[1,T]-E0时,存在M2>0,使得

(▽F(t,uk(t)),uk(t))-pF(t,uk(t))≤M2.

综上可知,当k→∞时,对任意t∈Z[1,T],有

此极限式与已得到的不等式

pF(t,uk(t))),

矛盾.故{uk}有界,作为有限维空间HT中的一个有界的序列，{uk}有收敛的子列,从而函数φ满足(C)条件.由文献[12]中的鞍点定理,我们只需要验证下面两个条件成立:

(I1) 对任意x∈RN,当|x|→∞时,有

φ(x+e(t))→-∞,

φ(u)→+∞.

由条件(F2)和(F3)可得,对任意t∈Z[1,T],当|x|→∞时,有F(t,x)→+∞.

事实上,由条件(F3)知,对任意M>0,存在M3>0,使得对任意t∈Z[1,T],当|x|>M3时,

(▽F(t,x),x)-pF(t,x)<-M,

也就是对任意|sx|>M3,有

(▽F(t,sx),sx)-pF(t,sx)<-M,

从而有

令s>1,对上述不等式两端从1到s积分得

在上面的不等式中令s→+∞,再结合条件(F2)可得,对任意|x|>M3,有

(2)

由M的任意性即得,当|x|→∞时,有

F(t,x)→+∞.

由式(2)得,当x∈RN,且|x|>M3+1时,有

由M的任意性即得,对任意x∈RN,当|x|→∞时,有

φ(x+e(t))→-∞.

最后,证φ满足条件(I2).

由条件(F2)得,对任意δ>0,存在M4>0,使得对任意t∈Z[1,T],当|x|>M4时,有

F(t,x)≤δ|x|p.

因为对任意t∈Z,F(t,x)关于x是连续可微的,所以存在M5>0,使得当|x|>M4时,有

|F(t,x)|≤M5,

从而对任意x∈RN及t∈Z[1,T],有

F(t,x)≤δ|x|p+M5.

(3)

(4)

综上,由鞍点定理,φ存在临界点u∈HT,使得

证毕.

定理2 假设F(t,x)满足(F1)以及

(F4) 存在常数C>0,0<μ

(▽F(t,x),x)≤μF(t,x);

(F5) 存在常数β及t0∈Z[1,T],使得对任意(t,x)∈Z[1,T]×RN,有F(t,x)≥β,并且当|x|→∞时,有F(t0,x)→+∞,则系统(1)至少有一个T周期解.

证明第一步,说明φ满足(C)条件.

假设{uk}⊂HT,φ(uk)有界,并且当k→∞时,

(1+‖uk‖)·‖φ′(uk)‖→0,

则存在C1>0使得

|φ(uk)|≤C1,(1+‖uk‖)·‖φ′(uk)‖≤C1.

(5)

由条件(F1),(F4)可得,存在常数C2,使得

从而

(p+1)C1≥(1+‖uk‖)·‖φ′(uk)‖-pφ(uk)≥

〈φ′(uk),uk〉-pφ(uk)=

因为0<μ

(6)

由不等式(5)和(6)得

从而存在常数C4,使得对任意k∈N,有

|uk(t)|→+∞.

由条件(F5)得

F(t0,uk(t0))+Tβ→+∞(k→∞).

综上可知,{uk}有界,从而有收敛的子序列,即φ满足(C)条件.

第二步,证φ满足(I1).对任意x∈RN,有

由条件(F5)知,当|x|→∞时,有φ(x+e(t))→-∞.

第三步,证φ满足(I2).

由条件(F4)得,存在C6>0,C7>0,使得

|F(t,x)|≤C6|x|μ+C7.

综上,由鞍点定理,φ存在临界点u∈HT,使得

证毕.

3 讨论

本文的定理1和定理2分别推广了文献[1]中的定理2和定理3.事实上,令p=2即得文献[1]中的相关定理,并且我们的条件(F5)比文献[1]里面定理3中的条件(F7)要弱.