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一类具有时滞和反馈控制作用的离散竞争系统的渐近行为

2015-08-08

关键词:时滞全局种群

向 宇

(湖北民族学院 理学院, 湖北 恩施 445000)

0 引言

近年来,竞争模型的研究一直受到生物学家和数学家的高度关注.在种群动力学中,两种群Lotka-Volterra竞争模型又是十分著名的模型.过去的数十年里,许多研究者对各类时滞Lotka-Volterra竞争模型的持久生存性、绝灭性以及正解的稳定性进行了研究[1-4].刘显清等在文献[2]中提出了一类具有时滞离散竞争系统

(1)

其中:y1(n)和y2(n)分别表示两竞争种群在第n代的密度;r1(n)和r2(n)分别为两种群在第n代的自然增长率;a1(n)和a2(n)为第n代种群y1和y2对它们自身的种内作用;c1(n)和c2(n)表示第n代种群的种间作用.上述所有参数都为连续有界的正参数,M为正整数.

考虑生态系统在现实世界中往往受到外界力量的持续干扰.把这种扰动函数控制变量看作反馈控制,文献[5-7]及其文献对这方面主题进行了广泛研究.

基于上述讨论,建立如下具有时滞和反馈控制的离散竞争系统:

(2)

n=0,1,2,…;且满足初始条件yi(φ)≥0,ui(φ)≥0,yi(0)>0,ui(0)>0,i=1,2,

φ∈{-L,-L+1,…,0},L=max{M,τ1,τ2}.

(3)

其中u1和u2为控制变量.Δu1(n)=u1(n+1)-u1(n),Δu2(n)=u2(n+1)-u2(n)表示一阶向前差分算子,且0

1 预备知识

定义

其中{B(n)}是定义在非负整数集Z+上的有界序列.同时,定义当a>b和a,b∈Z+时,

定义1 如果存在正常数hi,κi,Hi和Ki,对系统(2)的任意正解(y1(n),y2(n),u1(n),u2(n))满足

(4)

那么系统(2)称为持久生存.

(5)

引理1[8]假设y(n)在n∈[c,+∞)的条件下满足y(n)>0和

y(n+1)≤y(n)exp(r(n)(1-αy(n))),

(6)

其中,α是一个正常数且c∈Z+,那么

(7)

y(n+1)≥y(n)exp(r(n)(1-αy(n))),

(8)

其中α为常数,使得αH>1,d∈Z+,那么

(9)

2 持久生存性

命题1 系统(2)的任意正解(y1(n),y2(n),u1(n),u2(n))满足

(10)

其中,

(11)

(12)

(13)

i,j=1,2,i≠j;ε>0为充分小的常数.

y1(n+1)≤y1(n)exp(r1(n)).

(14)

对于n≥M,p=0,1,2,…,M,有

(15)

那么

(16)

它等价于

(17)

因此,根据式(17),可得

y1(n)exp(r1(n)(1-

(18)

又由引理1,可知

(19)

类似可推出

(20)

(21)

其中

(22)

命题2 假设

(23)

min{Δ1H1,Δ2H2}>1,

(24)

那么系统(2)的任意正解(y1(n),y2(n),u1(n),u2(n))满足

(25)

其中

(26)

Hi,Ki和Δi定义在(11)-(13)上.

y1(n+1)≥y1(n)exp(r1(n)-(H1+ε)·

(27)

容易得到

(28)

也就是说

r1(i)))=y1(n)G1,

(29)

其中

(K1+ε)d1(i)-r1(i))).

(30)

结合式(13)、(29)及系统(2)的第一个方程得出

y1(n+1)≥y1(n)exp((r1(n)-c2(n)-(K1+ε)·

y1(n)exp((r1(n)-c2(n)-(K1+ε)·

(31)

因此,应用引理2及令ε→0,由式(13)、(23)、(24)和(31)可知

(32)

类似地,由系统(2)的第二个方程,我们容易证明

(33)

(34)

其中

(35)

u2(n)的结论可以类似得出.证毕.

基于上述命题,我们有如下定理1.

定理1 假设条件(23)和(24)成立,那么系统(2)是持久生存的.

3 正解的全局稳定性

定理2 如果不等式(23)和(24)成立.进一步,存在常数η>0,使得

(36)

那么系统(2)的正解是全局稳定的,且Hi定义在式(11)上.

步骤1 令

(37)

则由系统(2)的第一个方程可得

|(lny1(n)+r1(n)-

(38)

由中值定理,有

(39)

(40)

由式(38)和(40)知

ΔV11(n)=V11(n+1)-V11(n)≤

(41)

步骤2 令

(42)

通过简单计算可得

ΔV12(n)=V12(n+1)-V12(n)=

(43)

步骤3 令

(44)

由系统(2)的第三个方程,有

ΔV13(n)=V13(n+1)-V13(n)=

|(1-f1(n))u1(n)+g1(n)y1(n-τ1)-

(45)

步骤4 令

(46)

容易计算得到

ΔV14(n)=V14(n+1)-V14(n)=

(47)

现在定义

V1(n)=V11(n)+V12(n)+V13(n)+V14(n).

(48)

那么由式(41)、(43)、(45)和(47)可得

ΔV1(n)=ΔV11(n)+ΔV12(n)+ΔV13(n)+ΔV14(n)≤

(49)

通过类似的讨论,定义

V2(n)=V21(n)+V22(n)+V23(n)+V24(n),

(50)

其中

(51)

同样可得,

ΔV2(n)=ΔV21(n)+ΔV22(n)+ΔV23(n)+ΔV24(n)≤

(52)

V(n)=V1(n)+V2(n).

(53)

易得当n∈Z+时,V(n)≥0.根据式(36)和(51),对任意小的ε,存在一个正整数n3,使得当n≥n3时,yi(n)≤Hi+ε,且V(n3+L)<+∞.又由式(36),存在η>0,当ε>0充分小时,有

(54)

因此,对于n≥n3+L,根据式(49)和(52)-(54)可得

ΔV(n)=ΔV1(n)+ΔV2(n)≤

(55)

对式(55)两边从n3+L到n累加,可得

(56)

这意味着对于任意的n≥n3+L,有

(57)

因此,

(58)

容易看出,当n→+∞时,

(59)

4 结语

文献[2]研究了一类具有时滞作用的离散竞争系统,并且得到了系统持久生存性和正解的全局稳定性的充分条件.本文在文献[2]的基础上进一步考虑反馈控制作用的影响,得到相应的理论结果.在后续工作中,我们将进一步考虑周期或概周期环境作用下该系统的渐近行为.

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