一类带有扩散的捕食模型的非常数正解

沈 林,周红玲,赵 中

(黄淮学院 数学科学系, 河南 驻马店 463000)

0 引言

捕食模型是种群动力学研究的核心内容.由于三种群捕食系统具有丰富的动力学行为,因此，对三种群捕食系统研究较多.1969年Ayala[1]通过实验证明了两个捕食者(果蝇)和同一食饵可以共存.为了模拟Ayala的实验，研究者们建立了诸多三种群捕食模型.Armstrong和McGehee[2]讨论了如下模型：

(1)

文献[4-5]研究表明，对于居住于海底的一些鱼类，捕食和竞争关系对其死亡率(依赖于密度)有重要影响.文献[6-8]研究了捕食者带有死亡率(依赖于密度)的生物模型.

考虑到空间分布不均匀性，文献[9]研究了一类具有扩散项的三种群捕食系统：

(2)

并讨论了系统的全局吸引性和正常数解的局部稳定性和全局稳定性.

本文在文献[9]的基础上进一步研究在齐次Neumann边界条件下带有扩散系数的如下反应扩散方程：

(3)

其中：Ω∈Rn是有界光滑区域；n是∂Ω上的单位外法向量；d1,d2,d3,a,c,d,m均为正常数；u为食饵种群；v,w为捕食种群；d1,d2,d3分别为三种群的扩散率.模型中参数的生物意义可参见文献[9].

(4)

1 正常数解的稳定性

记U=(u,v,w),G(U)=(G1(U),G2(U),G3(U)).首先给出以下记号:

0

(5)

H<1+d.

(6)

定理1 若条件(5)和(6)成立,则系统(4)的正常数解是渐近稳定的.

ψi(λ)=λ3+A1iλ2+A2iλ+A3i,

其中

A1i=(d1+d2+d3)μi-(a11+a33),

(a11(d2+d3)+a33(d1+d2))μi+

a11a33-a12a21-a13a31,

((a11a33-a13a31)d2-a12a21d3)μi+a12a21a33.

容易验证在条件(5)和(6)成立时，a11<0,计算可得:A1i>0,A2i>0,A3i>0,A1iA2i-A3i>0(∀i≥1),所以∀i≥1,ψi(λ)的根λi,1,λi,2,λi,3的实部都小于零.

下面证明存在正常数δ使得Re{λi,1},Re{λi,2},Re{λi,3}≤-δ(∀i≥1).记λ=μiζ,则

(d1d2+d2d3+d3d1)ζ+d1d2d3,

2 正常数解的估计

定理2 令Λ是固定的常数,若(u,v,w)是系统(4)的任意正解,则

(7)

证毕.

(8)

系统(4)的每一个正解(u,v,w)都满足

(9)

由Harnack不等式[11]可知,存在一个正常数C*=C*(Ω,d1,d2,d3,Λ)使得

(10)

(11)

把(ui,vi,wi)代入系统(4)中,然后在Ω上积分可得

(12)

(13)

同时结合式(11)可得u*≡0或v*≡0或w*≡0.

(i)u*≡0

(ii)w*≡0,u*≢0

(14)

由Lp估计和嵌入定理[12]可知:存在Wi的一个子列(仍记为Wi)满足:Wi→W,(i→∞).W≥0且W≢0,代入式(14)可得:

(iii)v*≢0,u*,w*≢0

(u*,w*)满足:

(15)

其中：C=C(Λ,ε),ε为Young不等式中非常小的正数.

利用Poincare不等式

上面的不等式可转化为:

由条件(5)可知上式不成立.所以v*≢0.证毕.

通过以上分析可知：当食饵u和捕食者w的扩散系数较大时，若生态系统能够保持平衡，则该平衡解有下界.

3 非常数正解的存在性

利用度理论以d3为参数来讨论系统(4)非常数正解的存在性.设Λ,d1,d2为固定正值,Λ满足条件(5)且H>d+1.

(16)

若U是(16)的一个正解当且仅当F(U)=U-(I-Δ)-1{D-1G(U)+U}=0,U∈X+,其中(I-Δ)-1是齐次Neumann条件下(I-Δ)的逆算子.若F(U)≠0,U∈∂B，则可以定义deg(F(·),0,B).

记

(17)

(18)

则可得下面的引理.

引理2 假设条件(5)及H>d+1且

d2≥d1,1+2d≥k

(19)

进而可得:

(20)

下面可证当d3充分大时,系统(4)存在非常数正解.

证明由引理2知,存在一个正常数ρ2,使得d3≥ρ2时(20)成立,且

(21)

下面将用反证法证明，对任意的d3≥ρ,系统(4)至少有一个非常数正解,采用拓扑度的同伦不变性得到矛盾,从而证明此结果.

m(t)=tm+(1-t)m0,t∈[0,1]，m(0)=m0.

同时对系统(4)把m用m(t)替换掉,则可得到一个新的方程组,把它记为系统(4t).其对应的G(U)用G(t;U)替换;对于问题

(22)

F(t;U)=U-(I-Δ)-1{D-1G(t;U)+U}=0.

(23)

其中σn是奇数.由引理1可得

(24)

(25)

由定理2和定理3知,存在一个正常数b使得,对任意的0≤t≤1,系统(22)的正解满足b-1

deg(F(1;·),0,B(b))=deg(F(0;·),0,B(b)).

(26)

deg(F(1;·),0,B(b))=

与式(26)矛盾,则定理结论成立.证毕.

注当k=2,d=1.5,c=6,r=1.28,m=3时条件(5),(8),(19)及H>d+1可同时成立.

4 结束语

应用反应扩散方程理论、单调动力系统理论、分歧理论、拓扑度理论研究了带有扩散的捕食模型，讨论了正常数解的先验估计及其稳定性、共存解的存在性以及参数对解的影响.主要证明了当种群扩散率d3≥ρ时，捕食模型至少存在一个非常数正解.