用“几何画板”探究一次函数的图像的性质

叶军

《几何画板》（The Geometer's Sketchpad）是适用于数学、物理教与学的动态几何软件。它操作方便，容易上手，每一步作图都体现了我们的数学思考，能够体现我们的设计和想法，是学习数学的良好工具。

【活动目标】学习使用《几何画板》软件作出一次函数 的图像；借助于动态图形，理解k和b的几何意义。

【活动准备】一间计算机教室，电脑需预装《几何画板》5.0或更高版本；在此前的课堂学习中，同学已经学会软件的一些基本操作；熟悉“一次函数”的图像与性质，会熟练地手工作图。

【活动过程】

1.小组分工：为提高学习效率，共同提高，每4～5名同学分成一组，并按小组就近在计算机教室入座，以便合作讨论，及时总结。

2.教师课前设计好本节课的教学案，本节课需要解决以下几个问题：

（1）学会用《几何画板》画出某个具体的一次函数图像，例如 ；

（2）学会用《几何画板》画出含参数k、b的一次函数图像，并能改变k、b的值，理解它们的几何意义，并藉此理解一次函数图像的性质；

（3）借助画板工具，理解一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式之间的关系，学会利用图形求解方程组的解，利用图形的几何意义求解一元一次不等式。

同学们需要带着教学案进入机房，并熟知本节课的学习任务。

3.问题和探索

问题1：在平面直角坐标系中画出函数 的图像，并和手工作图的图像进行比较，温习一次函数图像的性质。

基本操作：（1）打开《几何画板》软件，在“编辑”菜单中点击“参数选项”，选中“文本”选项卡，并勾选所有复选框。

这样做的目的是，让作图过程中自动加上点的字母，并让函数关系式自动呈现为 的形式，免得后面重复这一操作。

（2）打开“绘图”菜单，选中“绘制新函数”，并在打开的“新建函数”选项卡中，按照运算顺序输入“2*x-1”，在输入的过程中，注意观察界面上的函数式也同步变化，输入完成后，确定。会看到页面上出现一条倾斜向上的直线，这就是 的图像。

作图技巧：我们把坐标原点用O表示，拖动图中的点A可以改变坐标轴的单位长度，在默认情况下，我们选用的坐标系是“方形网格”，如果需要，可以在“绘图”菜单中改成“矩形网格”.例如，我们要画出函数 ，我们可以在矩形网格中，先输入函数式，然后拖动坐标轴上的A和B点，让图像呈现在屏幕的合适位置。

问题2：用《几何画板》画出含参数k、b的一次函数图像，改变的k、b值，观察函数的图像随着k、b的变化如何改变。

基本操作：在x轴上任作两点A、B，过这两点作x轴的垂线，在垂线上各选一点C、D，度量出C、D的纵坐标的数值，改变数值的标签分别为k、b。打开“新建函数”选项卡，输入 （其中k和b分别用鼠标点击刚才的标签），确定。出现如下的图形。

问题2的操作比较复杂，如果有同学发生困难，教师可以利用教师机给同学先展示，再由学生自己操作。个别问题，教师单独解决。

作图技巧：作好图形后，拖动C，可以改变k的值，拖动D，可以改变b的值，由此观察直线的位置、倾斜程度、经过的象限随着k和b如何发生变化的。

问题3：在同一坐标系中画出 和 的图像。（1）观察它们有无交点，并尝试读出交点的坐标；（2）根据图像，说出使 的x的取值范围.

基本操作：如图所示，按照要求作出两个函数图像，为了区分，可以用红色、蓝色分别标记。可以发现它们有一个交点，直接用鼠标点中交点P。可以直接观察出P（3，5）.对于不能直接看出交点坐标，或坐标不是整数的情况，可以选中点P，利用“度量”菜单中的“坐标”工具，直接度量出交点的横坐标和纵坐标。

活动启示：本题其实给出了方程组 的图像解法。进一步地，根据图像的位置关系，可以知道，当x>3时， ；反之，当x<3时， .

作图技巧：可以在y1上任选一点M，并过M作y轴的平行线，看这条直线与y2的交点N与M的位置关系，由此感受y1和y2的大小关系是如何变化的。

【活动总结】

每个小组互相交流一下，解决以上3个问题的过程中有没有新的想法，还有没有疑问和困惑？

【活动评价】

本节课的学习，既要动手，也要动脑。在计算机房学习数学，在“玩”的同时，不要忘了学习目标的完成。请每个同学对照教学案的目标要求，反思本节课有没有顺利完成任务。对于学有创建的同学，教师可以适当创造条件，让其展示。对于合作较好的小组，老师要予以肯定或展示。