巧求平面直角坐标系等腰三角形的第三个顶点

王君梅

已知平面直角坐标系中的两点，在平面上找出符合某些条件的另一个点，使得以这三点为顶点的三角形为等腰三角形.在中考中常作为选择题、填空题或解答题的压轴题.由于第三点的图形未知，一些同学感到难以下手，还有一些同学能做到答案，不过答案不完整，究其原因，实质是未能掌握解决问题的一般方法，从而出现错解与漏解.其实，在解这类题目时，关键是要分情况讨论已知线段可能是所求等腰三角形的底也可能是它的腰.为了帮助学生掌握这一题型的特征和解法，本文筛选了几道例题（或其变式题），对其类型与解法予以剖析，供参考.

例1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

分析：此题应该分情况讨论.以OA为腰或底分别讨论.

解答：（1）若AO作为腰时，有两种情况，

①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个

②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；

（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个.

以上4个交点没有重合的.故符合条件的点有4个.

故选：A.

点评：此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.

变式1：本题若在x轴上确定一点P改成在y轴上确定一点P ， 符合条件的点P共有几个？

解答：方法同上，有四个.

变式2：本题若在x轴上确定一点P改成在坐标轴上确定一点P ， 符合条件的点P又有几个？

解答：方法同上，有八个.

变式3：在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（2，4），点P在坐标轴上，△ABP是等腰三角形，符合条件的点P共有 个.

解答：由点A、B的坐标可得到AB⊥x轴，AB=4，然后分类讨论：若AP=AB，满足△ABP是等腰三角形的P点有4个；

若BP=AB满足△ABP是等腰三角形的P点有2个；若PA=PB，满足△ABP是等腰三角形的P点有1个.

所以点P在坐标轴上，△ABP是等腰三角形，符合条件的点P共有 7个.

故答案为7.

变式4：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，3）、点P为坐标轴上一点，则以A、B、P为顶点的等腰三角形有 个.

解答：建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，作出点A和点B，点P为坐标上的点，连接AB，如图，以AB为腰的三角形有4个，分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4；以AB为底的三角形有两个，分别是△ABP5，△ABP6.

因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有6个.

故填6.

例2：在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y= x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标.

分析：根据等腰三角形的腰长不明确，所以分①OP=OA，②AP=OA，③线段OA的垂直平分线与直线的交点，三种情况进行讨论求解.

点评：本题考查了正比例函数图形的性质与等腰三角形的判定，根据腰长的不确定性，注意分情况进行讨论.

例3：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（5，4），点P为BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点P坐标为 .

分析：当PA=PO时，根据P在OA的垂直平分线上，得到P的坐标；当OP=OA=5时，由勾股定理求出CP即可；当AP=AO=5时，同理求出BP、CP，即可得出P的坐标.

解答：当PA=PO时，P在OA的垂直平分线上，P的坐标是（2.5，4）；

当OP=OA=5时，由勾股定理得：CP= =3，

P的坐标是（3，4）；

当AP=AO=5时，同理BP=3，CP=5﹣3=2，

P的坐标是（2，4）.

故答案为：（2.5，4），（3，4），（2，4）.

点评：本题主要考查对矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质等知识点的理解和掌握，能求出所有符合条件的P的坐标是解此题的关键.