月考试卷调研

2015-08-03陈开懋

数学教学通讯·初中版 2015年2期

关键词：三棱锥理科中点

陈开懋

（说明：本套试卷满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. （理、文）已知复数z=（1+i）（2-i）的实部是m，虚部是n，则m·n的值是（）

A. 3 B. -3 C. 3i D. -3i

2. （理、文）已知集合A=Z，B={xy=ln（9-x2）}，则A∩B为（）

A. {-2，-1，0} B. {-2，-1，0，1，2}

C. {0，1，2} D. {-1，0，1，2}

3. （理、文）下列命题错误的是（）

A. 命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”？摇？摇

B. 若命题p：？埚x0∈R，x20-x0+1≤0，则？劭p：？坌x∈R，x2-x+1>0

C. △ABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件

D. 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

4. （理、文）从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：

■

由上表可得回归直线方程■=0.56x+■，据此模型预报身高为172 cm的男生的体重大约为（）

A. 70.09 kg ？摇？摇 B. 70.12 kg ？摇？摇 C. 70.55 kg ？摇？摇 D. 71.05 kg

5. （理）已知Ω={（x，y）x≤1，y≤1}，A是曲线y=x2与y=■围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）

A. ■ ？摇？摇？摇？摇？摇？摇 B. ■ C. ■ D. ■

（文）若将一个质点随机投入如图1所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）

A. ■？摇？摇？摇？摇？摇 B. ■

C. ■ ？摇？摇 D. ■

6. （理、文）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R其中A>0，ω>0，-■<φ<■，其部分图象如图2所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）

A. g（x）=sin■（x+1）？摇

B. g（x）=sin■（x+1）

C. g（x）=sin■x+1

D. g（x）=sin■x+1

7. （理、文）已知三棱锥的三视图如图3所示，则它的外接球的表面积为（）

A. 4π

B. 8π

C. 12π

D. 16π

8. （理、文）若x，y满足条件3x-5y+6≥0，2x+3y-15≤0，y≥0，当且仅当x=y=3时，z=ax-y取最小值，则实数a的取值范围是（）

A. -■，■ B. -■，■？摇？摇

C. -■，■ D. ■，■

9. （理、文）若双曲线x2-y2=a2（a>0）的左、右顶点分别为A，B，点P是第一象限内双曲线上的点. 若直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，且β=kα（k>1），那么α的值是（）

A. ■ B. ■ ？摇？摇？摇 C. ■ ？摇？摇 D. ■

10. （理、文）函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1

A. ■？摇？摇？摇？摇 B. ■ ？摇？摇？摇？摇 C. 1 ？摇？摇？摇 D. ■

二、填空题：本大题理科共6小题，考生共需作答5小题，共25分；文科共7小题，每小题5分，共35分.

（一）必考题（11∽14题）

11. （理）已知b为如图4所示的程序框图输出的结果，则二项式■-■6的展开式中的常数项是________.（用数字作答）

（文）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.

12. （理、文）在△OAB中，■=■■，■=■■，AD与BC交于点M，设■=a，■=b，则■=__________（用a，b表示）

13. （理、文）若正数x，y满足2x+y-3=0，则■的最小值为________.

14. （理）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0）在圆C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围是________.？摇？摇？摇？摇？摇

（文）记Sk=1k+2k+3k+…+nk，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=■n2+■n，S2=■n3+■n2+■n，S3=■n4+■n3+■n2，S4=■n5+■n4+■n3-■n，S5=■n6+■n5+■n4+An2，…，由此可以推测A=________.

15. （文）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF. 若■■·■■=1，则λ的值为________.

16. （文）设定义域为R的函数f（x）=lgx，x>0-x2-2x，x≤0，若关于x的函数y=2f 2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是________.

17. （文）同理科第14题.

（二）理科选考题（请理科考生在第15、16两题中任选一题作答. 如果全选，则按第15题作答结果计分）

15. （理）（选修4-1：几何证明选讲）

如图5，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线. 若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是________.

16. （理）（选修4-1：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是x=t-■，y=t+■，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是 ρsinθ+■=1，则两曲线交点间的距离是________.？摇？摇？摇？摇？摇

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （理） 18.（文）（本小题满分12分）

设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m=（sinA+sinC，sinB-sinA），n=（sinA-sinC，sinB），且m⊥n.

（1）求角C的大小；

（2）若向量s=（0，-1），t=cosA，2cos2■，试求s+t的取值范围.

18. （理） 19. （文）（本小题满分12分）

已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）数列{cn}满足cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.

19. （理）（本小题满分12分）

如图6，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2.

（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；

（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小.

20. （理）（本小题满分12分）

节日期间，高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（单位：km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如图7所示的频率分布直方图.

（1）此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法？

（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.

（3）若从车速在[80，90）的车辆中任抽取2辆，求抽出

的2辆车中车速在[85，90）的车辆数ξ的分布列及数学期望.

20. （文）（本小题满分13分）

如图8，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图9所示的三棱锥A-BCF，其中BC=■.

（1）证明：DE∥平面BCF；

（2）证明：CF⊥平面ABF；

（3）当AD=■时，求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.？摇？摇？摇？摇

21. （理、文）（本小题满分理13分、文14分）

已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的离心率为■，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+■=0相切.

（1）求椭圆C的标准方程；