分类计数原理与分布计数原理

崔北祥

分类加法计数原理和分布乘法计数原理是求解计数问题的基础，这部分知识的学习对抽象思维、逻辑思维以及思维的严密性要求较高. 它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习排列组合、概率论的基础知识.

重点：理解分步、分类计数原理的概念；掌握分类与整合的数学思想；能解决简单的实际应用问题.

难点：使用两个原理求解问题时，应注意合理分类、准确分步.在求解时应明确分类与分步的标准，按元素的性质进行分类，按事件发生的过程进行分步.由于情况繁多，因此要对各种不同情况进行合理分类和准确分布，关键是分类与整合的数学思想形成与抽象归纳能力的培养.

1. 应用两个计数原理要注意：①明确要完成什么事，即做什么；②分析完成这件事是分类还是分步，依据是什么，一般按元素的性质进行分类，按事件发生的过程进行分步；③检查结果，是否存在重复与遗漏的情况，尤其是重复，检查办法是换一个方法再把问题求解一遍.

2. 两个基本原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成，都是涉及完成一件事的不同方法的种数. 这两个原理之间的联系主要表现在两个方面：一是两个原理常常要协同作用，按“先分类，后分步”的原则进行；二是不少用乘法原理解决的问题，通过适当分类后同样可以用加法原理来解决.

3. 两者的区别可列表如下：两个原理运用的基本策略：

（1）一一列举的策略：一一列举是最直接、最普遍的一种计数办法，而我们最容易忽视.利用网状图和树形图列举不仅可以从问题本质上打开思路，解开思维死结，而且解法朴实，效果明显.

（2）化归转化的策略：将研究对象化归转化为另一种研究对象，使研究对象形象化、明确化，从问题的反面、侧面来考虑，从而避开问题的“陷坑”.两个计数原理中蕴涵着丰富的化归转化思想.

（3）整体与部分的策略：任何问题中整体和局部都是相对的，面对一个问题中的元素、解题环节怎么划分十分关键，如果能做到元素识别准确、环节划分合理，问题求解过程就会简化，思路就会顺畅.

（4）建立图式模型的策略：将所研究的问题、对象、元素以及过程环节，用数学图式表示，变抽象为形象、具体，就会使问题简易化.

■例1 同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺卡，则4张贺卡的不同的分配方式有（ ）

A. 6种 B. 9种

C. 11种 D. 23种

思索 将同室4人分别记为a，b，c，d，利用4个取卡的情况分步来确定，关键是要弄清楚分步时每步的顺序，例如a先取走c的卡，则下一步应由c取，否则由b，c，d中一人取，就很难断定是有3种还是2种取法了.本题也可以看做两个原理的交替应用，用列表表示一目了然，便于分析计数.

破解 法1：第一步，4个人中的任意一人（例如a）取一张，则由题意知共有3种取法；第二步，由第一人取走的贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步，由剩余的两人中的任一人取，只有1种取法；第四步，最后一人取，只有1种取法，由分步计数原理，共有3×3×1×1=9（种）.

法2：用“树图”表示如下：设a，b，c，d代表4个人，A，B，C，D分别代表这4个人写的贺卡，则有如下列表.

■

所以共有9种不同的分配方式.故选B.

■例2 椭圆的长轴和短轴把椭圆分成4块，现在有5种不同的颜料给4块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂一色，则一共有__________种不同的涂色方法.

■

图1

思索 涂色问题是计数原理应用的典型问题，涂色本身就是策略的设计和运用过程. 涂色问题大致有两种解决方案：（1）选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这是用分步乘法计数原理（其中有可能在有些步骤含有分类）进行计算；（2）根据涂色时所用颜色数多少进行分类处理. 其中有可能仍然需要分步（分类）处理. 本题的关键是对相对的区域A，C是否同色进行讨论，用流程图描述即为：

■

图2

破解 法1：①给A，C涂同种颜色共有5种涂法，再给B涂色有4种涂法，最后给D涂色也有4种涂法，由分步乘法计数原理，此时共有5×4×4种涂法.

②记这五种颜色分别为a，b，c，d，e，则给A，C涂不同颜色共有ab，ac，ad，ae，ba，bc，bd，be，…，ea，eb，ec，ed这20种涂法，再给B涂色有3种方法，最后给D涂色也有3种，此时共有20×3×3种涂法. 故由分类加法计数原理知，共有5×4×4+20×3×3=260种涂法.

法2：①给A涂色有5种选择；②给B涂色有4种选择；③当C与A异色时，C有3种选择，D有3种选择，共9种选择；当C与A 同色时，C有1种选择（与A同色），D有4种选择，由分步乘法计数原理知共有5×4×（9+4）=260种涂色方法.

■例3 对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数.

思索 一个问题同时用分布和分类时，对“类”与“步”的理解，要再上一个层次，可进一步地理解为：“类”用“+”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可.本题分恰好只有一种数字和恰好两种数字这两种情况讨论，还要注意去杂.

破解 法1：第一类，只有一种数字，9个. 第二类，只有两种数字，有三个相同，即形如■，■，■，■，■，■，■，■，共C■■×8个（包括首位为0的情况）. 第三类，只有两种数字，各两个相同，即形如■，■，■，■，■，■，共C210×6个（包括首项为0的情况）. 但由于0不能排在首位，0在首位的情况如下：有一个0，■，9个；有两个0，■，■，■，9×3个；有三个0，■，■，■，9×3个，共9+C210×8+C210×6-9-9×3-9×3=576（个）.

法2：显然，四位数字全部相同的四位数恰为9个. 下面考虑四位数字恰有两个不同数字的四位数，分三个步骤考虑：第一步，先考虑前位数字，有9种可能取法：1，2，3，…，9. 第2步，再考虑百位、十位、个位上的数字，由于恰有两个不同数字，故除了前位数字外，再从0，1，2，3，…，9中选出1个数字. 第3步，前两步两个数字确定后，再对个位、十位、百位上的数字进一步确定；这三个位置上分别各有两种可选择性，但要去掉一种情况，即个位、十位、百位上的数字选出的都和前位数字完全相同，故有（2×2×2-1）种选法. 综上，共有四位数9+9×9×（2×2×2-1）=576（个）.

1. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有_______个.

2. 在2012年伦敦奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4， 5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有_____种.

3. 设ai∈{0，1，2，…，9}，其中i=1，2，3，4，则在排列a1，a2，a3，a4中，至少有两个9相邻的排列的个数为_________.

参考答案

1. 192

2. 2880

3. 280. ■endprint