小学数学教材中的类比推理及教学策略

顾晓东

类比是合情推理的一种思维形式，是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，从而推出它们在另一属性上也有相同或相似的一种推理方法。其逻辑形式如下：因为A对象具有属性a、b、c、d，B对象具有属性a、b、c，所以B对象也可能具有属性d。它是由特殊到特殊的推理方法，是一种较为简单的、注重形式的推理形式。

类比是数学家G·波利亚十分推崇的一种重要数学思想方法。他认为：在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中无不充满了类比。纵观小学数学教材，类比推理有着广泛运用。如何进行类比推理的教学，促进学生推理能力的发展呢？本文依托小学数学教学中的相关实例，结合自己的教学实践，谈一些看法。

一、 小学数学教材中的类比推理分类举隅

小学数学教材关注了类比思想方法的渗透与应用，其中有许多内容都是培养学生类比推理能力的好材料。下面针对教材中类比推理的相关内容进行分类说明。

1.外部形式上的类比：由外而内的发现

当两类思考对象在形式上存在相似之处时，学生往往会将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去，完成从形式到形式的类比推理，从而发现和探索出新数学对象的性质。苏教版数学五年级下册“等式的性质”分两部分进行教学，首先是在认识了方程的意义后，通过在平衡的天平两端各加上或减去相同克数砝码的操作，让学生发现天平仍然保持平衡，从中归纳出“等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”这一性质。有了这样的认知基础，学生对“同时加上或减去同一个数”与“同时乘或除以同一个数”就有一个外在形式上的类比，进而主动地形成“等式两边同时乘或除以同一个数，所得结果也仍然是等式”这一猜想，然后教师可以启发学生继续通过天平实验来证实猜想，最终得出等式的另一半性质。再如苏教版数学三年级下册教材练习五中出现了“连减、连除的性质”的相关习题，教材首先让学生在计算中对比感悟、发现连减的规律，在学生掌握并运用连减性质进行简便计算的基础上，又引入了连除的计算，学生此时面对这样外在形式极其相似的计算，会容易与连减计算进行类比推理，大胆猜测连除也具有类似的性质，教师可以通过提问引发学生的类比推理猜想，然后让学生通过举例计算验证猜想得出一般性结论。这样的类比推理过程是建立在两类数学对象在外形上有着较高相似度的基础上的，可以通过观察来引发学生对数学对象内在一致性的推测猜想，最终得出性质规律。这样的类比推理不仅使数学知识容易理解，而且使知识的识记变得顺水推舟般自然和简洁，还可以激发起学生的创造力。

2.本质属性上的类比：由内而外的迁移

小学数学中有一些数学对象在其本质上是具有较高的相似度的，教材往往引导学生把某一或几个方面彼此一致的新旧事物放在一起相比较，让学生由旧事物的已知属性去猜测新事物也具有相同或相似的属性。这样的类比推理偏重于所涉及的对象在本质属性方面的相似之处，由此类比出其他方面的相似，拓宽思路，进而认识新数学对象的本质。例如在学习“比的基本性质”之前，学生已经掌握了分数的基本性质，并且在学习过程中已经与商不变的规律进行了充分的沟通联系，能够从本质上把握这两类规律的内在一致性；另外，学生也认识了比的意义，理解了比的实质是两个数相除，而且比也可以写成分数形式。这些已有知识构成了学生新知识学习的先行组织，为新知识的自然类比生成提供了基础。在教学中教师要充分发挥旧知识的作用，通过必要的引导启发学生关注到新旧学习对象在本质属性上的一致性，仔细分析比与分数之间的特殊关系，来大胆地进行由内而外的知识迁移，形成理性猜测。值得注意的是，这种猜测是在学生关注了不同数学对象在本质属性而展开的，因而具有一定的理性思维含量，其猜测更具有方向性、严谨性和可靠性。

3.根源知识上的类比：由魂及法的发散

小学数学中涉及到许许多多的基础性数学知识技能，看似零零散散的，可是不少知识之间确实有一根“红线”维系着。这根“红线”即相关的根源性知识。相应的，在学习一些新的数学知识技能时，应该让学生主动地激活相关的数学根源性知识技能，以这根“红线”来引领学生对新旧知识的内涵进行比较，发现和归纳其在数学根源性知识上的相似性，从而开展适当的类比和迁移。比如学习“异分母分数加减法”时，其本源性的计算原理是“相同计数单位上的数才能直接相加”。在学习整数加减法和小数加减法时，学生已经形成了这样一种根源性的数学认识和计算经验，这种知识经验对于探索异分母分数加减法法则具有重要意义，学生就是要针对不同数学对象之间在根源性知识上的一致性，由魂及法地进行尝试，转化方法，将异分母分数通分成同分母分数，然后再加减。再如“三位数乘两位数”“两位数乘两位数”的学习，都是建立在两位数乘一位数这一根源性技能之上的，通过后者，学生能主动地尝试和探索前两者的计算方法，其间的主要区别在于第二个乘数是两位数时，两位数十位上的数去乘第一个乘数时乘得的积个位对其十位。这是由位置原则决定的。诸如此类，当新旧知识在根源性知识上具有相同点时，教师可以引导学生发散性地运用根源性知识来猜测尝试，从而解决新问题，实现新知识的同化学习。

4.过程方法上的类比：以旧引新的推广

现代数学教学提倡让学生经历数学知识产生、形成的过程，在丰富而有创造性的探究活动中掌握和理解知识。比如在学习“长方形面积公式”时，就设置了用边长1厘米的小正方形来拼摆的实践活动，学生在拼摆的过程中逐步发现小正方形的总个数与长方形的长与宽有着特殊关系，进而推导、发现了长方形面积的计算公式。这样的探究过程和方法贴近学生实际，适合小学生的认知水平，是学生可以理解和掌握的，因而这个探究过程和方法会伴随着探究结果共同存在于学生的头脑之中，形成一个“带钩的原子”，在适当的时候能方便地提取出来运用（包括过程和结果）。因而，在高年级探索“长方体体积计算公式”的时候，由于跟上述探索方法在本质上存在着一致性，教材同样安排了拼摆棱长1厘米的小正方体的活动，启发学生从中迁移过程与方法，从而主动地探索出长方体体积计算公式。这就是一种过程方法上的类比，学生进行以旧引新式的推广，展开合理的联想，创造性地开展探索和猜想，在实践过程中验证了猜想、发现了规律。诸如此类的类比推理还存在于圆面积和圆柱体体积的推导过程中，让学生经历由二维图形到三维图形知识技能探索中的类比发现。

二、 类比推理教学实施的策略

类比推理是一种从已知到未知，探求和发现新知识的富有成效、自由活泼的思维方法，符合儿童的心理和认知发展特点，因而是深受学生喜爱的数学发现和探究活动。教师应在教学中努力挖掘教材中蕴含的类比推理内容，注重策略、及时渗透、合理训练。

1.先行组织，搭建类比桥梁

学生展开类比推理学习的前提是其原有认知结构中具备了同化新知识的适当的上位概念或相似概念。当学生面对新问题时，如果与之相关的上位或相似概念缺少，不够清晰，那么相应的类比推理活动就难以顺利展开。要使所教知识让学生深刻理解并能融入原有知识形成新的认知结构，就必须重新组织教材，精心设计学习活动，在学生“已经知道的”与“需要知道的”知识之间架设起桥梁，为学生开展类比推理活动打好基础。这座桥梁就是先行组织者，所谓先行组织者，是先于学习任务本身呈现的一种引导性材料，它要比原学习任务本身有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习任务关联。例如学习“异分母分数加减法”时，教师可以设计一组整数、小数和同分母分数加减法，在练习后引导学生认识、归纳这些计算过程背后隐含的共同核心要点“相同的计数单位才能直接相加减”。这是比单纯的计算过程本身更为抽象、高级的认知，而这种计算核心也正是异分母分数加减法计算的关键。学生在这个“先行组织者”的引领下，就不难展开相应的类比推理活动，主动猜测并尝试异分母分数加减法计算。在掌握新的计算法则后，再次引导学生对新旧知识进行对比，归纳出此类计算的共同点。这样的类比推理学习活动将真正促进学生对新旧知识的深刻理解，并形成一种稳定而又有活力的知识结构。

2.原型启发，实现类比抽象

现实生活中的事物原型往往会启发人们展开类比、联想，获得灵感，构造数学模型，认识新的数学对象。原型启发是一个心理学的概念，意指根据事物的本质特征而产生新的设想和创意。小学生长于直观思维的认知心理特点决定了他们认识新的数学概念和对象时，往往会比较依赖于日常生活中常见的实物原型，因而从原型启发而展开的类比推理（尤其是在几何图形认识中）在小学数学教材中也是常见的。例如教学“认识线段”时，教材提供了操作红头绳的活动场景，由双手捏住头绳两端绷紧而形成了线段的实物原型，进而揭示线段概念的本质属性。又如几何图形中的高是一个比较抽象的概念，往往也是学生认识上的一个难点。教材在编排“三角形的高”时，安排了“人”字形三角架实物图，让学生能够从生活实物中直观地感受到三角架的高是指怎样的一条线段，进而通过讨论明确高是“三角架中最高处一点到相对底面边上的最短距离”这个本质属性；然后再引导学生回到数学上的抽象三角形中，把生活中高的本质属性类推到几何图形中，形成三角形高的概念。同样的，在认识圆锥体高的时候，则又可以借助三角形高的概念，由二维图形的图形特征类比推理出三维图形的类似特征。这种借助生活实物原型的类比推理方式是符合小学生认知特点的，能够促使学生在“原型”中获得一些原理性的启发，使生活原型与数学对象之间形成思维的对接通道，在类比推理过程中形成一定的经验性认识，并加以数学抽象，主动建构数学概念。

3.联想类推，直觉类比猜测

联想类推策略是指引导学生在认知结构中已建立的数学模型与新的数学模型表面相似的基础上，通过关系相似猜想问题解决结果的教学策略。小学数学教材中存在许多具有内在联系的可供类比推理的知识，如上文所述的等式性质中等式两边“同时加上或减去同一个数”与“同时乘或除以同一个数（0除外）”，仍旧是等式；几何图形中二维与三维图形知识；运算律中加法的交换律、结合律与乘法的交换律、结合律等等，前后两者之间存在着密切而直观的联系。联想类比策略就是要着重引导学生发现已有数学模型与新数学对象之间的关系相似，凭借直觉加以类比推测。如在教学圆柱体体积时，教师就可以有意识地激活二维图形中圆面积的推导过程，从把圆平均分割成众多小扇形进而拼镶组合成近似长方形的推导过程中形成直觉联想，主动地猜测可以将圆柱体像圆那样进行分割，然后拼镶组合成长方体，最终推导出圆柱体体积计算公式。这种联想类推策略在几何图形知识教学中是常用的，教师应重点引导学生激活已有数学模型，进行大胆的类推，发展学生的直觉思维能力，实现二维平面图形与三维立体图形之间的有效转化与迁移，从而掌握其中的规律。

4.检验修正，避免类比失误

类比推理是合情推理中的一种形式，其本质是引导人们通过新旧数学对象之间的相似性，从而发现解决问题的方法。但类比推理从本质上来说是一种或然推理，得出的结论可能会出现形式主义错误。例如在学习乘法竖式计算时，不少学生往往把加法竖式计算中“相同数位对齐”的方法类比迁移到乘法中，从而造成类比推理的错误。高年级学生在数学学习中会较多运用类比推理，虽然能为加快理解和掌握数学知识提供有利条件，促进学生类比推理能力的发展，但是往往也会由此而产生错误。比如在百分数运算中，遇到“一件衣服原价100元，增加20%后又降价20%，现价是多少元”这样的问题时，学生会错误地以整数运算经验来类推，得出“结果仍为100元”的错误结论。出现诸如此类的错误类比推理，究其原因是未从关系上深刻理解内在的关联，且没有经过检验。因此在教学中，教师既要重视类比推理的应用，又要防止学生乱用类比造成错误。对类比推理得到的结论，教师要提醒学生养成检验的习惯，学会用实例进行检查修正，以提高类比推理的能力。同时，教师在运用类比推理教学时，要注意引导学生细心观察、仔细分析，正确把握类比的对象，判断其中是否真正存在某些本质特征上的相似之处，然后才能去类推其他方面的属性。在提出类比猜想后，还应该注重通过举反例来揭示类比猜想中的不合理成分，有助于类比推理的结论验证和修正完善。

发展学生推理能力是数学教学的重要目标之一，是学生不断经历、体验推理活动过程的结果。类比推理能力需要在“做”和“思考”的过程中积淀，应贯穿于整个小学数学学习过程之中。

【责任编辑：陈国庆】