浅谈初中数学教学中的变式训练

李世春

摘 要：新课标要求以学生为中心，培养学生的创新能力，激发学习兴趣，灵活运用知识解决问题。为了提高初中数学课堂教学有效性，在教学中恰当地实施变式教学，运用变式的方法是初中数学教师教学能力水平的基本要求和重要体现。变式教学训练可以提高课堂教学效益，而且能向学生展现数学知识的无穷魅力，引导学生开阔视野，扩展思路，扎实掌握知识和方法，使数学变得生动有趣，让学生觉得学数学是一种享受！

關键词：变式 数学 教学 训练

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）06（a）-0171-02

现代数学课程标准指出：数学教学不仅仅要使学生获得数学基础知识，基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质，要通过各种途径，让学生体会数学思考和创造的过程，增强学习的兴趣和自信心，不断提高自主学习的能力。在数学教学中研究和运用变式，让学生去伪存真，全面认识事物，对教师有效地传授知识，突出本质特征，排除无关特征，提高数学教学质量有着现实的意义。变式教学充分挖掘学生的潜能，有效地培养学生的自学能力、探究能力和良好的学习习惯，促使学生的思维向多层次、多方向发散，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，从而真正把学生的创新意识和创新能力的培养落到实处。

（1）数学基础知识、基本概念（定义、定理、性质、公式、法则）是解决数学问题并产生新问题的起点。在复习公式、定理的教学中，不要直接呈现现成的结论，而应充分利用特例、实验等手段，设计系列问题变式。利用问题变式来明确定理、公式和法则的条件、结论、适用范围、注意事项等关键之处，进而培养学生严密的逻辑推理论证能力和正确的演算能力，引发学生遐思绵绵，培养学生数学思维的灵活性和思考问题的深刻性。

如：甲、乙两地相距162 km，一列慢车从甲站开出，每小时走48 km，一列快车从乙站开出，每小时走60 km试问：①两列火车同时相向而行，多少时间可以相遇？

②两车同时反向而行，几小时后两车相距270 km？

③若两车相向而行，慢车先开出1 h，再用多少时间两车才能相遇？

④若两车相向而行，快车先开25 min，快车开了几小时与慢车相遇？

⑤两车同时同向而行（快车在后面），几小时后快车可以追上慢车？

⑥两车同时同向而行（慢车在后面），几小时后两车相距200 km？

通过这样的变式训练，防止了学生形式、机械地背诵和套用行程问题公式，提高了学生变通地思考问题的能力。

（2）习题是训练学生的思维材料，是教者将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体。利用习题变式训练学生的思维，可以使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。

第一，一题多解，触类旁通，培养学生思维的灵活性。

例如：已知：AB‖CD，请说明∠ABE、∠CDE、∠BED之间的数量关系。

每个图形学生至少能想到3种不同方法解答，这样开阔了学生的思路，使其熟练掌握知识的内在联系。教学中我们可以积极地引导学生通过各种途径，用多种方法思考问题，充分再现学生解题的思维过程，增加教学透明度。

在此基础上，顺势提出问题，使学生思维更加深刻。通过上述问题解决的思路，请你用多种方法解决问题：已知AB∥CD，∠ABF=∠DCE。试说明：∠BFE=∠FEC。

这方面的例子很多，尤其是几何证明题。我们在教学中一定要重视对这类题目的收集和比较，让学生自己感悟出题目之间的内在联系，形成一定的数学思想方法，从而培养学生数学思维的灵活性。

第二，多题一法，通过变式让学生理解数学练习的内在联系。

许多数学练习的解题思路和方法是一样的，对这类题可以引导学生寻求通法通解，感悟它们之间的统一的思路和方法，形成数学思想方法，培养思维的深刻性。

例如：已知圆柱的底面周长是8 m，高AB是6 m，要从点A处开始绕圆柱一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？

变式1：葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线—— 螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长为30 cm，绕3圈升高120 cm，则葛藤此时的长度是多少？（2）如果树干的周长为80 cm，绕一圈爬行100 cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？

变式2：有一圆柱体，高4 cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁想爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。

变式3：一个三级台阶，台阶的每一级的长、宽和高分别是5 cm，3 cm、1 cm，A和B是台阶的两个相对的端点，A点的一只小虫要到B点去吃可口的食物。那么这只小虫从A点出发，沿台阶面爬至B点，最短线路是多少？

变式4：一个无盖的圆柱形玻璃杯，底面周长是18 cm，高是12 cm，杯口内壁离杯口3 cm的A处有食物，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至食物相对方向离桌面3 cm的B处时，发现了食物。问小虫至少爬多少厘米才能到达食物所在的位置。

变式5：在边长为10的正方体中，一只小虫从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B，请求出小虫爬行的最短距离。

变式6：实心长方体中，一只小虫从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线为多少？

变式7：一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线长是 。

变式8：主视图是等边三角形的圆锥中，底面半径是4 cm，若B点处有一小虫沿圆锥表面爬行，那么它要想吃到母线AC中点P处的食物，需要爬行的最短路程是多少？

通过以上变式习题的设计，使学生充分理解：立体图形上点点之间的距离最短问题，可以通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决。“以直代曲”是处理“质点沿几何体的表面曲线运动路径最短”这一典型问题的重要办法。

又如，同一方法思路的一系列题目：（1）一条直线上有2个点时，图中有 条线段，一条直线上有3个点时，图中有 条线段，一条直线上有4个点时，图中有 条线段，一条直线上有n个点时，图中有 条线段。

（2）同一平面内，两条直线有 个交点，3条直线有 个交点，4条直线有 个交点，n条直线最多有 个交点。

（3）同一平面内，过一点能画 条直线，过两点能画 条直线，过3点可以画 条直线，过4点可以画 条直线，过n点最多能画 条直线。

这些问题，表面看来各不相同，但实质上的思维方式是相同的，因此可以用同一种思路来解决。

让学生通过亲自演算这样的题组并作出相应的比较，可以透表求里，自觉地学会从本质上去看问题和分析问题，从而培养学生思维的深刻性。

（3）一题多变，总结规律，培养学生思维的探索性。

通过变式教学，可以遏制“题海战术”，培养学生探索意识，开拓学生解题思路，达到“以少胜多”的境界。常用方法有：变换命题的条件与结论；保留条件，深化结论；减弱条件，加强结论；探讨命题的推广；考查命题的特例；生根伸枝，图形变换；接力赛，一变再变；解法的多变等。

例如：已知平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点。说明四边形BFDE是平行四边形。

变式1：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，当E、F两点满足什么条件时，四边形BFDE是平行四边形。

变式2：若點E、点F是平行四边形ABCD的对角线AC延长线上的两点，且满足AE=CF，则四边形BFDE是平行四边形吗？请同学们画出图形并证明。

变式3：平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？

变式4：在ABCD中，已知两条对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形。

变式5：已知：点E、点F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，若BE∥DF，那么四边形BFDE是平行四边形吗？“BE ∥DF”还可以变为什么条件？

变式1通过判定方法的选择使学生充分感悟—— 在已知条件出现“对角线上截取相等的线段”时，选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”最简单，通过对比使学生明确要根据题中所给的已知条件选择合适的证明方法。变式2考察学生逆向思维能力、动手操作能力动手作图能力和独立严谨的思维能力。变式3、4、5是对前面方法的综合体现，学生开拓的思维，促成对本部分内容的充分理解与升华，综合了性质与判定打开思维的闸门。

数学的思想方法大多都隐藏在例题或习题中，教学中我们要重视对例题、习题的变式和引申，善于对习题做必要的挖掘，把分散的知识串成线，从而有利于对知识的建构。

数学课堂教学中，我们要遵循学生认知发展的规律，根据教学的内容和目标加强必要的变式训练，对巩固基础知识、培养思维、提高能力有重要的作用。特别是变式训练能培养培养学生敢于怀疑，敢于思考，敢于联想的品质，培养学生自主探究的能力与创新精神。自然，教学中变式题最好以教材为源，以学生为本，充分体现“源于课本，高于课本”，并在日常教学中渗透到学生的学习中去。让学生也学会去“变题”，让学生自己去探索、分析、综合，以其提高学生的数学素质。

参考文献

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[2] 赵晓楚，周爱东.如何在数学课堂中实施变式教学[J].中小学教学研究，2007（5）：14-15.

[3] 徐勇彪.变式训练在初中数学中的应用与思考[J].新课程研究（教师教育），2007（7）：27-28.

[4] 冯克诚.中学数学课堂教学方法[M].内蒙古大学出版社.