小学数学中“数形结合”的应用

王李华

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）04-0157-01

“数”与“形”是数学中最基本最古老的两个研究对象，它们具有紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。它们的互相转化可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化。

著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观、形少数时难入微”，说明数形相倚相依不可隔离分家。这里的“数”主要是指数、数量关系式、运算式、函数关系式、方程等；“形”主要指几何图形与直角坐标系下的函数图像，对于几何图形我们主要考虑的是几何图形的开关与小，例如有几条边、几个角、以及边与边之间的位置关系、边的长度与图形面积等度量特征。

数学中的一些数量关系，如果借助图形的性质，可以使抽象的概念和数量关系式直观化、形象化、简单化。而图形的一些性质，如果借助于数量的计算和分析，能够得以严谨化。

下面我就以自己的实际教学经验出发，浅谈在小学数学“数与代数”领域中的“数形结合”思想的应用。

一、乘法与图形面积的结合

借助“面积模型”深入理解乘法的意义和积的变化规律，实际上就是将乘法与图形面积结合起来。例如：300×400=1200，在学习了图形面积以后，我们可以把这个算式理解为长是400，宽是300的长方形的面积（数据单位：厘米），也可以看成是底是400，高是300（或者底是300，高是400）的平行四边形的面积。

借助图形面积的变化理解乘法积的变化规律。例如：300×400=1200，600×400=？通过转化成图形我们可在看到，长方形的长400没有变，宽从300变成了600，扩大到原来的2倍，图形的面积也因此扩大到原来的2倍。从而我们深入理解了当一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积就扩大到原来的几倍。反过来想，当一个因数不变，另一个因数缩小到原来的几分之几，积就缩小到原来的几分之几。

二、连乘与立体图形体积的结合

借助“体积模型”深入理解连乘的意义，即将连乘与立体图形的体积相结合。例如：300×400×200，我们可以把它看成是長宽高分别是300，400，200的长方体（数据单位：厘米）。那么300×400我们求出的是底下这一层一共有多少个体积是1立方厘米的小正方体，然后再求这样的200层一共有多少个这样的小正方体，即这个长方体的体积。

三、乘法运算律与图形

乘法交换律仍与立体图形的体积模型相结合。例如：300×400×200与300×200×400。300×400先求出的是这个长方体上下横着这一层一共有多少块这样的小正方体，再求一共有多少块。300×200先求出的是这个长方体纵向一层一共有多少块小正方体，再求总共有多少块。无论先求什么，最后求出来的都是小正方体的总块数，即长方体的体积。因此可以得到等式300×400×200=300×200×400。

乘法结合律与乘法交换律同理。300×400×200与300×（400×200）。300×400先求出的是这个长方体上下一层一共的块数，再求一共有多少块。300×（400×200）先求括号里面400×200即横向一层的块数，再求总块数。两个算式，算法不同，结果相同。因此可以得到等式300×400×200=300×（400×200）。

乘法分配律与图形面积的结合。例如：300×400+300×200与300×（400+200）。300×400+300×200这个算式里先算300×400与300×200求出的是长宽分别为300、400和300、200这样两个长方形的面积，再求它们的总面积。300×400+300×200从这个算式里我们发现两组乘法里有一个共同的因数，从图形中我们发现这两个长方形有一个公共的边，因此可以把两个长方形合并成一个长方形。长是400+200，宽是300，求面积就是300×（400+200）。这两种算法所计算的面积都是同样的两个长方形面积之和，因此可以得到一个等式即300×400+300×200=300×（400+200）。

在小学数学教学过程中我发现，数学教学不同于数学研究。数学最本质的东西是抽象，抽象是人类创造性思维最基本的特征。但我们在数学教学中却要力求把抽象的东西形象化，通过直观形象来深化抽象的内容。这种抽象中的形象，正是数学教学的真谛，也符合小学生的思维发展水平。小学生的思维处在具体形象思维向抽象逻辑思维过渡发展的阶段，因此在平日教学中如果脱离了具体形象思维，过度强调抽象逻辑思维，会让学生缺少感性体悟。

古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯认为“万物皆数”、“数不但表示数量，还表几何形状”，如三角形数，正方形数等。他的思想虽然在后期阻碍了数学的发展，但从这里我们发现了“数形结合”的源头。我们发现了数形结合是解决数学问题的重要方法，也是一种重要的数学思想。在小学数学教学中我们应该有意识地强调和渗透。当然在小学数学中能够渗透数形结合思想的内容还有很多，本文只是涉及其中一二。让我们沿着数形结合这条奔流不息的长河一直向前，一直探索。探索“数形结合”在我们数学学习中的应用，探索“数形结合”给我们数学学习带来的帮助。