小球能一直沿光滑曲面运动下去吗？

陈 科

（甘肃省康县第一中学，甘肃 康县 746500）

初速度为0的小球能沿任意光滑斜面一直运动下去，这是众多高中生都熟悉的.那么，初速度为0的小球沿光滑曲面也能一直运动下去吗？本文将分3种情况：圆面、抛物面和椭圆面，就这一问题做一探讨，供各位同行参考.

1 光滑圆面情况

设小球将在A点脱离圆面，如图1所示.

圆的方程为

图1 光滑圆面

参数方程为

从最高点到A点机械能守恒，有

在A点的脱离条件为

由以上各式，解得

故初速度为0的小球不可能一直沿光滑圆面运动下去，且将在θ＝48°处脱离圆面.

2 光滑抛物面情况

设小球将在A点脱离抛物面，如图2所示.

抛物线的方程为

图2 光滑抛物面

对y关于x求一阶、二阶导数，得

A点曲率半径为

从最高点到A点机械能守恒，有

在A点的脱离条件为

由以上各式，解得

方程两边含x的项刚好抵消，方程无解.

3 光滑椭圆面情况

设小球将在A点脱离椭圆面，如图3所示.

椭圆的方程为

图3 光滑椭圆面

参数方程为

分别对x与y关于θ求一阶、二阶导数，得

那么，y关于x的一阶导数为

A点曲率半径为

从最高点到A点机械能守恒，有

在A点的脱离条件为

由以上各式，解得

这是一个关于sinθ的一元三次方程.

要使以上方程式成立，必须同时满足

解上面关于A和B的方程组，得

即初速度为0的小球不可能一直沿光滑椭圆面运动下去，且将在以上确定位置脱离圆面.

最后，我们可以得出结论：初速度为0的小球将一直沿光滑抛物面运动下去；而在光滑圆面和光滑椭圆面上，该小球都将在某一确定位置脱离曲面.以上推导和观点若有不当之处，还望各位同行和专家斧正.