轴对称爆炸载荷作用下深埋圆形隧洞的准饱和土动力响应

吴传侠,张敏,杨骁

(上海大学土木工程系,上海 200072)

轴对称爆炸载荷作用下深埋圆形隧洞的准饱和土动力响应

吴传侠,张敏,杨骁

(上海大学土木工程系,上海 200072)

考虑准饱和土与隧洞弹性衬砌的非完整连接,基于Biot模型和弹性理论,研究了深埋圆形隧洞的准饱和弹性土在轴对称爆炸载荷作用下的动力响应.通过引入势函数和Laplace变换,得到准饱和弹性土-弹性衬砌耦合系统在Laplace变换空间中动力响应的解析解;借助Laplace逆变换的数值Crump法,得到了耦合系统的时程响应;分析了不同隧洞模型下准饱和土的动力响应.结果表明:准饱和土-壳体衬砌系统模型的土体响应最小,而无隧洞衬砌准饱和土模型的土体响应最大;饱和度对土体位移和应力影响较小,但对孔隙水压力有较为显著的影响;且随着接触面刚度的增大,准饱和土体的径向位移和环向应力幅值均增大.

准饱和土;隧洞衬砌;爆炸载荷;动力响应;Laplace变换

Key words:nearly saturated soil;tunnel lining;blasting load;dynamical response; Laplace transform

随着城市的发展,各类地下隧洞设施如地铁和电力管线等日趋增多,这些地下隧洞在为城市发展提供有力基础支持的同时,也给城市安全带来隐患.各类地下隧洞的破坏事故严重影响着城市生命线的安全,威胁人们的生命财产,如2004年2月6日发生在莫斯科地铁的爆炸造成150多人的伤亡.因此,爆炸载荷作用下地下隧洞的动力响应研究具有重要的理论意义,相关研究成果可为隧洞的设计提供指导.

在含隧洞土体力学性能研究中,较为简单的模型是将土体视为单相介质,研究含隧洞单相土体的静动力学性能[1-6].然而,土体是典型的多相介质.为此,基于饱和土的Biot模型[7-8], Xie等[9]分析了饱和土中半封闭隧洞的动力特性,杨骁等[10-11]研究了饱和粘弹性土-深埋圆形隧洞衬砌系统的稳态动力特性,而徐长节等[12]建立了含球空腔的饱和粘弹性土动力方程,得到了稳态动力响应.利用积分变换法,Liu等[13]得到了内水压力下隧洞衬砌与围岩动力相互作用的半解析解.Senjuntichai等[14]则研究了含圆形隧洞无限饱和多孔弹性介质在隧洞径向力作用下的瞬态动力响应,而刘干斌等[15]分析了含半封闭圆形隧洞的粘弹性饱和土动力响应,以及隧洞边界透水性对土体动力响应的影响.蔡袁强等[16]将衬砌等效为Flügge壳体,研究了简化爆炸载荷下含圆形隧洞饱和土的动力响应.而Gao等[17]将衬砌视为弹性介质,解析研究了深埋圆形隧洞饱和弹性土的动力响应,揭示了不同载荷对土体动力响应的影响.Andersen等[18]利用有限元和边界元耦合法,建立了铁路隧洞振动分析模型,并对三维和二维数值结果进行了对比分析.而Liu[19]利用有限元方法研究了爆炸载荷对地铁隧洞造成的破坏和损伤,并进行了参数分析.

现实中的土体通常是由固、液、气组成的三相混合体,绝对的单相土和饱和土是不存在的,土体孔隙中都或多或少含有气体.对于地下水位线以下高饱和度的土体,采用准饱和土模型[20]更为恰当合理.王明洋等[21]结合爆炸波在准饱和土中的传播试验,建立了一维平面爆炸波作用下准饱和土的动力分析模型.Yang等[22-23]研究了饱和度对土体界面处SV波和P波反射的影响.忽略衬砌的影响,徐长节等[24]研究了含球空腔准饱和粘弹性土的动力响应,而杨骁等[25]以及高华喜等[26]研究了含球空腔准饱和粘弹性土的动力特性.可见,有关准饱和土的动力响应研究尚有待于进一步深入.

考虑土体与隧洞衬砌的非完整连接,将土体视为准饱和弹性土,本工作研究了深埋圆形隧洞的准饱和弹性土在轴对称爆炸载荷作用下的动力响应.首先,通过引入势函数和Laplace变换,分别得到了准饱和土和弹性衬砌以及壳体衬砌在Laplace变换空间中的动力响应通解;利用连续性条件及边界条件,得到爆炸载荷作用下准饱和弹性土和衬砌系统的位移、应力以及孔隙水压力等在Laplace变换空间中的解析解.而后,借助Laplace逆变换的数值Crump法[27]得到了耦合系统的时程响应,分析了不同隧洞模型下准饱和土的动力响应特性,探讨了饱和度和非完整连接物性参数等对系统动力响应的影响.

1 控制方程及通解

1.1 准饱和土体的控制方程及求解

如图1所示,设准饱和弹性土体中有半径为R1的无限长圆形隧洞,隧洞的弹性衬砌厚为h,即衬砌的内外半径分别为R1和R2,R2=R1+h.对于沿隧洞轴线发生爆炸的深埋圆形隧洞,可将准饱和弹性土-隧洞衬砌系统的动力响应视为轴对称平面应变问题.

当土体饱和度Sr>90%时,空气仅以气泡的形式存在于孔隙水中,可将水-气混合物视为均匀流体,此时的土体称为准饱和土[20].可采用Biot两相多孔介质理论描述准饱和土的力学行为[24,28],而孔隙中水-气混合流体的体积模量可近似为

式中,Kf表示孔隙中水-气混合流体的体积模量,Kw表示孔隙水的体积模量,P0表示孔隙绝对压力.

由Biot理论[7-8]可知,饱和弹性土体的动力控制方程如下:

式中,λS和µS为土骨架的表观Lame常数,USr为土骨架的径向位移,Wr为孔隙混合流体相对于土骨架的径向位移,n为孔隙率,ρ=(1−n)ρS+nρf为准饱和土的表观密度,ρf=Srρw为孔隙混合流体的密度,ρw和ρS分别为孔隙水和土骨架的真实密度,b为反映准饱和土体渗透性的参数.若KS和Kb分别为土颗粒和土骨架的体积模量,则刻画土骨架和孔隙混合流体压缩性的参数α和M可分别表示为[24,26]

孔隙水压力Pf的状态方程如下:

而准饱和土体的本构方程如下:

式中,σSi(i=r,θ)为准饱和土体总应力.考虑到初始条件

图1 准饱和弹性土中的圆形隧洞Fig.1 Circular tunnel in nearly saturated elastic soil

对控制方程(2)的时间变量t进行Laplace变换,并引入如下无量纲变量和参数:

可得Laplace变换空间中的控制方程如下:

引入2个标量势函数

则运动控制方程(8)可进一步写为

式中,

利用Bessel函数的渐近性质,并注意到条件USr→0(r→∞),可得方程(10)的通解为

式中,B1和B2为待定系数,Kn(η)为n阶第二类变形Bessel函数,且参数为

将通解(12)代入方程(10)中的第二个方程,可得

于是,在Laplace变换空间中土骨架的径向位移USη和孔隙混合流体的相对径向位移为

这样,利用式(4)和(5)可得Laplace变换空间中准饱和弹性土总应力和孔隙水压力为

1.2 弹性衬砌的控制方程及求解

将衬砌视为弹性体,则其轴对称平面应变的运动方程如下:

式中,ULr为衬砌的径向位移,ρL为衬砌的密度,而λL和µL为衬砌的Lame常数.注意到衬砌的初始条件

引入如下无量纲变量和参数

则运动方程(17)的Laplace变换如下:

式中,In(η)为n阶第一类变形Bessel函数,B3和B4为待定系数.

由弹性衬砌的本构方程可得衬砌的径向应力σLr和环向应力σLθ分别为

1.3 壳体衬砌的控制方程及求解

若将衬砌视为Flügge柱壳体,则其轴对称运动方程[16]如下:

式中,EL为衬砌的弹性模量,νL为衬砌的泊松比,Qa为衬砌的外部径向净压力.引入无量纲量

则方程(10)在Laplace变换空间的解为

2 准饱和土-衬砌系统的响应

考虑衬砌内壁对爆炸波的反射作用,采用爆炸载荷的幂函数形式(见图2)[28]:

图2 爆炸载荷模型Fig.2 Blast loading model

对隧洞周围土体力学性能的研究通常采用3种不同的衬砌模型,即将衬砌等效为弹性介质的土体-弹性衬砌耦合系统模型[4-5,10-11,17,28]、将衬砌等效为圆柱壳的土体-壳体衬砌耦合系统模型[1,2,9,16]和忽略衬砌效应的无隧洞衬砌土体模型[2,12,14-15,24-25].

2.1 准饱和土-弹性衬砌系统的响应

对于准饱和弹性土-弹性衬砌耦合系统模型,若弹性衬砌与准饱和土接触面处为非完整的粘性连接,且接触面不渗透,则接触面处(r=R2)弹性衬砌与准饱和土的连接条件[29]如下:

式中,Kr和Cr分别为非完整连接的刚度和阻尼.对式(28)进行Laplace变换可得

这里,Kr∗和Cr∗为刚度Kr和阻尼Cr的无量纲参数,且

同时,隧洞衬砌内边界(r=R1)处的边界条件为

将式(15),(16)以及式(21),(22)代入连接条件(29)和边界条件(31),可得确定待定系数Bi(i=1,2,3,4)的线性代数方程组如下:

由方程(32)确定待定系数Bi(i=1,2,3,4)后,得到爆炸载荷作用下准饱和弹性土-弹性衬砌耦合系统在Laplace变换空间中动力响应的解析解.为了得到该系统在时域中应力、位移和孔隙水压力等的瞬态动力响应,需对Laplace变换空间中的相应物理量进行Laplace逆变换,这里采用Crump数值逆变换法[27].

2.2 准饱和弹性土-壳体衬砌耦合系统的响应

对于准饱和弹性土-壳体衬砌耦合系统,Laplace变换空间中壳体衬砌与准饱和土接触面处粘性连接的条件[26]如下:

将式(15),(16)以及式(25)代入连接条件(33),可得确定待定系数B1,B2以及Qa∗.由此可得准饱和弹性土-壳体衬砌耦合系统在Laplace变换空间中动力响应的解析解.仍采用Laplace逆变换的Crump数值法[27]可得该系统在时域中的瞬态动力响应.

2.3 无衬砌准饱和弹性土的响应

对于无隧洞衬砌的准饱和弹性土,有R1=R2,则Laplace变换空间中边界条件变为

将式(15)和(16)代入式(34)可确定准饱和弹性土的待定系数B1和B2,从而得到无隧洞衬砌准饱和弹性土在Laplace变换空间中动力响应的解析解,并可利用Laplace逆变换的Crump数值法[27]得到该系统在时域中的瞬态动力响应.

3 算例分析

3.13 种隧洞模型的准饱和土动力响应

为揭示准饱和弹性土-弹性衬砌系统模型、准饱和弹性土-壳体衬砌系统模型和无隧洞衬砌准饱和弹性土模型在爆炸载荷式(26)作用下的动力响应差异,选取如下参数[12,17,25]:

由于Kr∗和Cr∗较大,此时可认为衬砌与准饱和土在接触面处为完整连接.

图3∼5给出了在爆炸载荷式(26)作用下3种隧洞模型中准饱和土边界(r=R2)处土体的无量纲径向位移U∗=µSUSr/(f0R2)、无量纲环向应力σ∗=σSθ/f0以及无量纲孔隙水压力P∗=Pf/f0随无量纲时间t∗的瞬态动力响应.可见,在3种模型中,径向位移U∗、环向应力σ∗和孔隙水压力P∗随时间t∗的响应性态基本一致,但准饱和弹性土-壳体衬砌系统模型振动响应的幅度最小,准饱和弹性土-弹性衬砌系统模型振动响应的幅度次之,而无隧洞衬砌准饱和弹性土模型振动响应的幅度最大;径向位移U∗和环向应力σ∗的最大峰值随时间t∗依次增加了约13%,而孔隙水压力最大峰值分别增加了约7%和17%,且3种模型的响应周期依次增大.可见,衬砌模型对隧洞附近准饱和弹性土的动力响应有较为明显的影响.

图3 3种隧洞模型的土体径向位移Fig.3 Radial displacements of soil in three tunnel models

图4 3种隧洞模型的土体环向应力Fig.4 Circumferential stresses of soil in three tunnel models

图5 3种隧洞模型的孔隙水压力Fig.5 Pore water pressures of soil in three tunnel models

3.2 参数分析

图6∼8给出了当饱和度Sr取不同值,而其他参数同式(35)时,在爆炸载荷式(26)作用下准饱和弹性土-弹性衬砌耦合系统模型土体边界(r=R2)处的动力响应,其中Sr=1为饱和弹性土的响应.可见,随着饱和度Sr的增大,土体径向位移U∗和环向应力σ∗以及孔隙水压力P∗的响应性态不变,但准饱和弹性土-弹性衬砌系统与饱和土-弹性衬砌系统的响应峰值有较明显的差异.准饱和土径向位移U∗和环向应力σ∗以及孔隙水压力P∗的峰值小于相应的饱和土响应峰值,且随着Sr的减小,响应幅值减小,其中孔隙水压力P∗的幅值变化较为明显.

图6 不同Sr下径向位移U∗时程响应Fig.6 Responses of radial displacement U∗of soil with time t∗for different values of Sr

图7 不同Sr下环向应力σ∗时程响应Fig.7 Responses of circumferential stress σ∗of soil with time t∗for different values of Sr

图8 不同Sr下孔隙水压力P∗时程响应Fig.8 Responses of pore water pressure P∗with time t∗for different values of Sr

图9∼11给出了当边界连接参数Cr∗取不同值,而其他参数同式(35)时,在爆炸载荷式(26)作用下准饱和弹性土-弹性衬砌耦合系统模型准饱和土体边界(r=R2)处的动力响应.可见,当Kr∗=0,且Cr∗=108时,径向位移U∗和环向应力σ∗以及孔隙水压力P∗的峰值最大,这是因为此时边界的阻尼较大,增强了准饱和土和弹性衬砌的相互作用.同时,随着Cr∗的增大,土体的径向位移U∗和环向应力σ∗以及孔隙水压力P∗的幅值均增大,但增幅不大.

图9 不同Cr下径向位移U∗时程响应Fig.9 Responses of radial displacement U∗of soil with time t∗for different values of Cr

图10 不同Cr下环向应力σ∗时程响应Fig.10 Responses of circumferential stress σ∗of soil with time t∗for different values of Cr

图11 不同Cr下孔隙水压力P∗时程响应Fig.11 Responses of pore water pressure P∗with time t∗for different values of Cr

图12∼14给出了当边界连接参数Kr∗取不同值,而其他参数同式(35)时,在爆炸载荷式(26)作用下准饱和弹性土-弹性衬砌耦合系统模型准饱和土体边界(r=R2)处的动力响应.可见,当Kr∗=108,且Cr∗=0时,径向位移U∗和环向应力σ∗以及孔隙水压力P∗的峰值最大.并且,随着Kr∗的增大,土体的径向位移U∗和环向应力σ∗的幅值均增大,孔隙水压力P∗的幅值减小,但影响较小.

图12 不同Kr下径向位移U∗时程响应Fig.12 Responses of radial displacement U∗of soil with time t∗for different values of Kr

图13 不同Kr下环向应力σ∗时程响应Fig.13 Responses of circumferential stress σ∗of soil with time t∗for different values of Kr

图14 不同Kr下孔隙水压力P∗时程响应Fig.14 Responses of pore water pressure P∗with time t∗for different values of Kr

4 结论

本研究考虑准饱和土与隧洞弹性衬砌的非完整接触,采用Laplace变换得到了准饱和弹性土-弹性衬砌耦合系统在Laplace变换空间中动力响应的解析解,并借助Laplace逆变换的数值Crump法得到了耦合系统的时程响应.通过参数分析,对比了不同隧洞模型对准饱和土动力响应的影响,得到以下结论.

(1)在爆炸载荷作用下,准饱和弹性土-壳体衬砌系统模型的土体响应最小,而无衬砌隧洞准饱和弹性土模型的土体响应最大,且壳体衬砌、弹性衬砌和无衬砌系统的响应周期依次增大.

(2)准饱和土与饱和土的动力响应有较为显著的差别.随着饱和度的增大,准饱和土的响应幅值增大,但增幅有限,而孔隙水压力的增幅较为明显.

(3)非完整接触边界的阻尼和刚度对土体的动力响应有所影响,随着刚度和阻尼的增大,土体的径向位移和环向应力幅值均增大,但增幅较小.

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Dynamical response of nearly saturated soil with deeply buried circular tunnel under axisymmetrical blasting load

WU Chuan-xia,ZHANG Min,YANG Xiao
(Department of Civil Engineering,Shanghai University,Shanghai 200072,China)

Considering the non-complete connection between nearly saturated soil and elastic lining of a tunnel,the dynamical responses of nearly saturated elastic soil with a deeply buried circle tunnel subject to an axisymmetrical blasting load are investigated based on the Biot model and elasticity.Analytical solutions of dynamical responses of nearly saturated soil and elastic lining coupled system in the Laplace transform space are derived with the potential function and Laplace transform.The time-history responses of the coupled system are obtained with a numerical Crump method of the inverse Laplace transform.The dynamical responses of nearly saturated soil with different tunnel lining models are analyzed.It is shown that the soil responses of nearly saturated soil and a shell lining system are minimal,while the soil responses of nearly saturated soil without lining are maximal.Influence of the degree of saturation on displacement and stress of the soil is weak,but has evident influence on pore water pressure.Furthermore,the magnitudes of radial displacement and circumferential stress increase as stiffness of the interface increases.

O 327;TU 435

A

1007-2861(2015)05-0617-14

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.02.005

2014-03-19

国家自然科学基金资助项目(10872124)

杨骁(1965—),男,教授,博士生导师,博士,研究方向为结构加固与修复、土-桩-结构相互作用等. E-mail:xyang@shu.edu.cn