PMC边界手征负折射平板波导模式特性及场分布

马全问,肖中银,徐晓雪,徐文杰,马孝龙,刘德君,王子华

(上海大学特种光纤与光接入网省部共建重点实验室,上海 200444)

PMC边界手征负折射平板波导模式特性及场分布

马全问,肖中银,徐晓雪,徐文杰,马孝龙,刘德君,王子华

(上海大学特种光纤与光接入网省部共建重点实验室,上海 200444)

从理论上分析了以理想磁导体(perfect magnetic conductor,PMC)为边界的手征负折射平板波导的模式特性及其磁场的具体分布.利用PMC边界条件,导出了手征负折射波导的色散方程和磁场各分量表达式.通过波导的色散曲线发现,当手征参数κ>1时,某些区域曲线出现下凹,左旋圆极化(left circularly polarized,LCP)波的折射率为负值,实现了负折射特性,截止频率也不再是传播常数β=0所对应的频率.根据传播常数β和k+,k−的关系,将色散曲线分为3个区域,给出了各区域一阶奇模和一阶偶模磁场的具体分布,并与一般手征媒质平板波导的磁场分布作了比较.结果发现,切向分量场Hy,Hz在上下边界处为零,满足PMC边界条件.而由于面磁流的存在,法向分量Hx在边界处不为零.

手征负折射;平板波导;理想磁导体;色散特性;电磁场分布

手征媒质因具有旋光性以及圆二色性而被广泛关注,由手征媒质填充构成的平板波导和手征光纤的特性研究也一度成为热点[1-2].手征波导支持混合模的传播,而且对于相同的截止频率有不同的传播模式,从而限制了手征参数的大小[3].近年来,负折射波导的一些特性,比如表面波模的存在、基模的缺失,以及能够应用于“完美透镜”等[4-5],使其在通信、光学领域有着广阔的应用前景.

近期研究表明,手征参数是频率的函数,并且在谐振频率处最大,这意味着可以利用手征媒质实现负折射.文献[6]指出,当手征参数κ>1时,手征媒质中的一个本征极化波将会变成后向波,其相应折射率将小于零,从而实现手征负折射.并且,在微波和太赫兹波段具有负折射特性的手征媒质已经出现[7],相应的结构设计和实现负折射的频段也日趋多样化[8-9].因此,在微波新器件的研制方面,手征负折射媒质也有着巨大的应用潜力.对于手征媒质平板波导,已有学者对其理论以及结构进行了大量广泛的研究[3,10].相关研究大多针对以理想电导体(perfect electric conductor,PEC)作为边界的手征波导,对以理想磁导体(perfect magnetic conductor,PMC)为边界波导的研究相对较少[11].本研究对以PMC为边界的手征负折射平板波导进行分析,得出色散方程以及场分布表达式,并给出了色散曲线和磁场分布.结果发现色散曲线与以PEC为边界的手征负折射波导有类似的特性,但由于PEC和PMC的边界条件不同,所以二者场分布完全不同.

对于PMC而言,磁导率µ为无穷大,边界条件如下[12]:

1 理论分析

电磁场在各向同性手征媒质中的本构关系为

图1 边界为PMC的手征负折射平板波导结构Fig.1 Structure of parallel-plate chiral waveguide with PMC boundary

在手征媒质平板波导中,n±=n(1±κ),可见当手征参数κ>1时,n−=n(1−κ)<0,即LCP波的折射率为负,从而实现手征负折射特性.

利用手征媒质的本构关系(见式(3)和(4))和麦克斯韦方程组,可以得到波导内部的波动方程[10]如下:

式(9)对应E=F,G=H,这使得Hx和Hy呈奇对称分布,所以称为奇模特征方程;同理,式(10)对应E=−F,G=−H,此时Hx和Hy呈偶对称分布,故称为偶模特征方程.

进而由式(8)以及PMC的边界条件,可以得到波导内部的各磁场分量如下:

1.1 研究对象 选取2004—2017年于辽宁中医药大学附属第二医院口腔科行下颌阻生第三磨牙拔除术的260例患者为研究对象，按照手术方法不同，将患者分入A、B两组。A组中，男性150例，女性64例；中位年龄32.7岁；前倾阻生100例，水平阻生62例，垂直阻生51例，复杂型1例。B组中，男性32例，女性14例；中位年龄33.1岁；前倾阻生20例，水平阻生18例，垂直阻生8例。两组患者一般资料比较，差异无统计学意义(P>0.05)，具有可比性。患者及其家属均签署知情同意书，本研究经医院伦理委员会批准。

式(11)∼(13)为奇模磁场.

式(14)∼(16)为偶模磁场.E为各分量的系数,由电磁波的功率大小来决定.

2 数值分析及讨论

2.1 色散特性

基于式(9)和√(10),可得到波导中的奇偶模色散特性曲线如图2所示,其中横坐标为βd,纵坐标为且手征媒质的折射率n=2.3,手征参数κ=1.8.

图2 手征负折射波导中低阶模奇偶模色散特性曲线(κ=1.8>1)Fig.2 Dispersion curves of propagating modes in a chiral negative refraction waveguide(κ=1.8>1)

对于以PMC为边界的手征负折射平板波导,奇偶模色散曲线从同一截止频率处出发后分为两支(见图2),也就是说对于任意大于最低截止频率的平面波,相同的传播常数会有两种模式与之对应(实线对应偶模,虚线对应奇模).由于手征参数κ>1,奇偶模曲线都会有下凹的部分,但下凹程度的不同导致各自的截止频率不再相同.这种波导结构的截止频率并不是普通波导中定义的βd=0时对应的频率,而是导模可以传播的最小频率.另外,在某些交叉点处,奇模和偶模可以同时存在.图2中部分曲线的斜率为负,这表明由于κ>1实现了负折射,使能量的传播方向与波矢方向相反.但是一般手征媒质(n=2.3,κ=0.4<1)填充的PMC边界平板波导(见图3)就没有这种特性.

图3 一般手征波导中低阶模奇偶模色散特性曲线(κ=0.4<1)Fig.3 Dispersion curves of propagating modes in a common chiral waveguide(κ=0.4<1)

比较图2和3还可以发现,手征负折射平板波导中不存在基模,而一般手征媒质波导中存在;并且图3中色散曲线没有下凹的部分,这也印证了一般手征媒质波导中能量传播的方向和波矢方向是相同的,没有后向波的产生.

2.2 场分布特性

由于手征媒质中存在2个波数k+和k−,所以根据k+,k−和传播常数β之间的关系[3],把色散曲线分为3个区域(见图2和3).区域Ⅰ:β

所以称区域Ⅰ为快-快-波(fast-fast-wave)区域;同理,在区域Ⅱ中满足v−>vp>v+,故称之为快-慢-波(fast-slow-wave)区域;而在区域Ⅲ中满足v−>v+>vp,故称之为慢-慢-波(slow-slowwave)区域.下面将对这3个区域的场分布情况进行详细讨论.

为了研究以PMC为边界的手征负折射波导的具体场分布,在区域Ⅰ和Ⅱ的一阶奇模和一阶偶模上分别选取几个点,并根据式(11)∼(16),给出磁场各个分量的具体分布.

对于图2所示区域Ⅰ中一阶奇模上的A点,βd=1,Ω=3.095 9.将各个参量数值代入式(11)∼(13),并令系数E=1,可以得到与A点相对应的磁场分量Hx,Hy和Hz的分布如图4所示,相应的参数及坐标值已在图中标出.

从图4中可以看出,Hz是关于x轴的偶函数,即Hz呈偶对称分布,而Hx,Hy呈奇对称分布,故称这种横向磁场呈奇对称分布的电磁场模式为奇模场.对于PMC而言,磁场的切向分量要在分界面处连续(满足边界条件),从而Hy,Hz在上下边界(图中x/d=±0.5)处应为0.而由于理想磁导体上有磁流的存在,使得法向分量Hx不连续,从而在x/d=±0.5处不为0.

同样,对于图2所示区域Ⅰ中一阶偶模上的B点,βd=1,Ω=3.027 5.根据式(14)∼(16),可以得到磁场各个分量Hx,Hy和Hz的具体分布如图5所示.从图中可以发现,横向场Hx,Hy呈偶对称分布,而纵向场Hz呈奇对称分布,故称这种横向磁场呈偶对称分布的电磁场模式为偶模场.可以看出,偶模场在x/d=±0.5处同样满足PMC的边界条件.

图4 一阶奇模磁场分布(图2区域Ⅰ中的A点)Fig.4 Amplitudes of magnetic field components for odd-wave mode(corresponds to point A in Fig.2)

图5 一阶偶模磁场分布(图2区域Ⅰ中的B点)Fig.5 Amplitudes of magnetic field components for even-wave mode(corresponds to point B in Fig.2)

通过上述分析可知,图2所示区域Ⅱ中的奇偶模磁场表达式与式(11)∼(16)相同.通过区域Ⅱ中一阶奇模上的D点(βd=4,Ω=2.996 1),以及一阶偶模上的C点(βd=4,Ω=1.954 4),可以得出相应的磁场分布分别如图6和7所示.

观察图6和7可知,虽然区域Ⅱ中的磁场分布也满足奇偶模特性和PMC边界条件,但波形较区域Ⅰ有较大改变,原因是区域Ⅱ中LCP波变为衰减波,而RCP波仍是正(余)弦项叠加的传输波.比较图5和7可知,图5中Hz沿x轴方向上大于一个波长,这是因为在此区域有两个极化波相互叠加;而图7中Hz沿x轴方向上只有一个波长,这是由于LCP波变为沿x轴方向的衰减波,而导波仅剩RCP波.

对于区域Ⅲ而言,由于β>k+>k−,LCP波和RCP波均变为衰减波(见图2),使得导模不存在,则电磁波在此区域将不能传播.

为了更好地说明以PMC为边界的手征负折射平板波导的场分布特性,下面给出一般手征媒质平板波导一阶偶模和一阶奇模的具体磁场分布(见图8和9),分别对应图3中的E点(βd=1,Ω=3.384 3)和F点(βd=4,Ω=4.625 7).

图6 一阶奇模磁场分布(图2区域Ⅱ中的D点)Fig.6 Amplitudes of magnetic field components for odd-wave mode(corresponds to point D in Fig.2)

图7 一阶偶模磁场分布(图2区域Ⅱ中的C点)Fig.7 Amplitudes of magnetic field components for even-wave mode(corresponds to point C in Fig.2)

图8一般手征媒质波导一阶偶模磁场分布(图3区域Ⅰ中的E点)Fig.8 Amplitudes of magnetic field components for even-wave mode in a common chiral medium(corresponds to point E in Fig.3)

图9一般手征媒质波导一阶奇模磁场分布(图3区域Ⅱ中的F点)Fig.9 Amplitudes of magnetic field components for odd-wave mode in a common chiral medium(corresponds to point F in Fig.3)

比较区域Ⅰ中的图5和8,由于手征参数κ的取值不同,u+,u−不同,且都是实数,从而导致场分布不同;对于区域Ⅱ中的图6和9,当κ=1.8>1时,u+仍为实数,u−变为虚数,从而使得对应场分布不同.

3 结束语

首先对以PMC为边界的手征负折射波导的模式特性进行了较为详尽的分析,发现此种波导中不存在基模;色散曲线在某些区域会下凹,截止频率也不再是纵向传播常数βd=0时所对应的频率,而是导模可以传播的最小频率,并且奇偶模的截止频率也不再相等.随后,根据传播常数β与k+,k−的关系,将色散曲线分为3个区域,给出了波导内部磁场的表达式,并绘出了每个区域的一阶奇模和一阶偶模的磁场分布,且与一般手征媒质平板波导磁场分布作了比较.结果发现,区域Ⅰ中LCP波和RCP波都是正(余)弦项叠加的传输波,而区域Ⅱ中LCP波为指数项叠加的衰减波,RCP波仍为正(余)弦项叠加的传输波.奇模对应的横向场Hx,Hy呈奇对称分布,纵向场Hz呈偶对称分布;偶模对应的横向场Hx,Hy呈偶对称分布,纵向场Hz呈奇对称分布.并且,磁场切向分量都满足PMC边界条件,即Hy,Hz在x/d=±0.5处为0.

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Modes and fields for a chiral negative refraction parallel-plate waveguide under PMC boundary

MA Quan-wen,XIAO Zhong-yin,XU Xiao-xue,XU Wen-jie,MA Xiao-long, LIU De-jun,WANG Zi-hua
(Key Laboratory of Specialty Fiber Optics and Optical Access Networks, Shanghai University,Shanghai 200444,China)

The mode characteristics and magnetic distributions of a chiral negative refraction parallel-plate waveguide under perfect magnetic conductor(PMC)boundary are studied theoretically.With boundary conditions of PMC,dispersion relations and electromagnetic fields are obtained.Using the dispersion curves,if the chirality parameter κ>1,curves become concave-down in some regions and the refractive index of left circularly polarized(LCP)wave is negative.It imply that chiral medium can realize negative refraction.The cutoff frequency is no longer the conventionally defined frequency when propagation constant is zero.According to the relations between propagation constant β and wavenumbers k+and k−,the dispersion curves are divided into three regions.Amplitudes of magnetic field components on the first-order even mode and first-order odd mode are plotted respectively.Chatacteristics of the magnetic field components are discussed and compared with the conventional chiral slab waveguide.It is shown that Hyand Hzare zero at x/d=±0.5.It indicates that they satisfy the PMC boundary conditions and,due to the existence of magnetic current,Hxis not zero at the interface.

chiral negative refraction;slab waveguide;perfect magnetic conductor(PMC); dispersion characteristic;electromagnetic field

O 441.4

A

1007-2861(2015)05-0579-09

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.03.013

2014-04-30

国家自然科学基金资助项目(61275070,61077068)

肖中银(1964—),男,教授,博士生导师,研究方向为光波导理论与技术、微波毫米波电路. E-mail:zhyxiao@staff.shu.edu.cn