分析思维过程乃头等大事

陈黎黎

相信很多同学心中都有一个问题会一直纠结：怎么就想不到老师需要的思路呢？其实作为老师，看到班上同学为课堂上的一道题琢磨半天终无所获时，我自己也为他们感到焦急万分。如何在短时间内顺利打开思路、如何让思维变得敏捷，是我们复习时需要瞄准的目标。夯实基础后，通过抓住两条主线：通性通法和思想方法，系统有效地训练数学思维，不拘泥于形式，但着重掌握其本质，是我们应该强化的方向，下面从分析思维过程的角度出发，选择两道数量积求值问题谈谈自己的实践与反思。

1.通性通法唱主调

所渭的“通性通法”就是具有普遍性特点的方法，是对数学知识的概括与提炼。它的普适性决定了它的重要性。因此，我们在分析习题的思维过程之中，一定不能忘记通性通法这条主旋律，关于数量积的求值问题，其通性通法有定义法、基底法、坐标法、投影法等。

分析1 结合已知条件，我们首先应察觉到定义法不能用，因此可以考虑基底法与坐标法，选取合适的坐标系，容易得到所需点的坐标，进而得到所求数量积的坐标表示，所得表示是二元一次函数，其限制条件是线性区域，所求问题即转化为一个线性规划问题。

值得注意的是，此题实质上两边的最值恰巧都在边界处取到，所以此法有其特殊性，值得我们回味。

2.思想方法一线通

掌握数学基础知识与基本技能，即所谓的“双基”，是对学习数学的最低要求，是浅层的学习；而体会数学知识的生成背景、发生过程，并感悟隐藏其中的数学思想方法，这才进入学习数学的高层境界，高中数学的知识内容丰富且深刻，要学好绝非易事，体会并学会应用隐藏在其中的数学思想方法是必经之路。

解法3 同上，直线与网有公共点，也可以转化为方程组有解。

反思从坐标法的角度出发，此题给了5种解法，这5种解法中渗透了丰富的数学思想方法。解析1中运用了三角换元法，揭示了三角函数的网的本质，体现了转化的思想。解析2与解析3将代数问题转化为几何问题，体现了数形结合的思想，其中解析2直接从几何角度探究，解析3则又转化为方程有实根问题，蕴含了函数与方程的思想.解析4运用了基本不等式来处理，是函数、方程与不等式三者联系的展现，仍属函数思想.解析5转化为距离处理，又是数形结合思想的体现。

笔者选择两道数量积求值习题的思维过程做了些阐述，目的是想为读者开启一道思维分析之门。在高中数学中，有很多习题值得我们去细细研究，慢慢打磨解决它们的思路.有兴趣的同学不妨在这方面作一些深入的探索，相信对大家的复习之路能有意想不到的帮助。