千里之行 始于足下

蒋孝国

题记

合抱之木，生于毫末；

九层之台，起于垒土；

千里之行，始于足下。

——老子

解答一个数学问题，都有一个起始，并继续，最终结束于简单、合乎逻辑的步骤，只要有敏锐的目光，并以稳健的步伐朝着明确的方向前进，那么千里之行就将不需要走千千万万步，那么如何开始，需要你的探索，“敢问路在何方，路在脚下”，又如何继续，需要你坚持不懈，“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”，最后你需要将想法凝练、概括地表述出来。本文记述解决一道数学竞赛试题的开始、继续及完成过程，我们可感受到复杂、艰难的问题，通过不断探索，可获得优美的解答。

一、“冰美人”出场

拿到本题，可能很多同学完全看不懂，或者不知道如何下手解决，该问题有一定难度，出题人的意思可能一时看不出来，这真是一位“冷美人——理性美”，欣赏起来，要费一番功夫。题目中指出{1，2，3，…，n}有2ⁿ个子集，同学们，你知道吗？会证明吗？我们先从有限集合子集的个数来开始这次“千里之行”吧。

二、从有限集的子集个数谈起

我们从最简单的情况开始考虑，找出其一般的规律。

方法一：从特殊到一般

上述方法采用的是从特殊到一般，从特殊开始，希望能找到一般性的“东西”，也就是将题日的本质“暴露”出来，利用一般的规律再将问题解决。希望同学们在做竞赛题时，多从特殊性人手，试着找到自己的“解题道路”。

另外，我们也可以从元素的归属（是否在子集中）来考虑。

方法二：利用乘法原理

方法三：利用组合数

为加深对上述结论及过程的理解，“磨刀不误砍柴工”，不急于去解救“冷美人”，先来试试手吧。例题后的变式，希望同学们能独立给出解答，不要以为简单，“万丈高楼平地起”哦。

三、初试身手

解由题意知，集合P中必含有元素a，b，则P的个数就是集合{c，d，e}子集的个数，共8个。

四、搏击长空

初试身手后，我们对有限集合的子集个数，以及推导过程有所掌握，我们希望在下面的解题中能用到结论或者推导方法，或者上面的推导能给我们一些启示、一点想法。下面我们来搏击长空，试着揭开“冰美人”的面纱，欣赏“冰美人”的严肃美。

至此，我们完全揭开“冰冷女王”的面纱，回味探究过程，总有一些东西让我们激动不已，无法释怀。

五、意犹未尽

同学们，如果你希望解题能力有所提高，你必须具备坚实的基础，充分多的解题，及时总结解题经验，切记“千里之行始于足下”，“不积跬步无以至千里”。数学的美是理性美，只有不停地思索才能欣赏其美，只有脚踏实地、永不言败，你才能用智慧的火花温暖“冰美人”的心，最终欣赏到“大美”。同学们，路就在脚下，迈开你的脚步吧！