盘点二项式系数与项的系数

翟爱国

二项式定理的实质是多项式乘法公式（a+b）? =a?+2ab+b?，（a+b）? =a?+3a?b+3ab?+b?的推广，它揭示了二项式的n次幂的展开式在项数、系数、次数等方面的特点，在利用二项式定理时，一些同学常因概念不清导致失误，其中最易混淆的两个术语是：二项式系数、项的系数。下面通过对一些典型例题的分析提高同学们的辨别能力。

一、混淆“二项式系数”与“项的系数”

2.利用二项式定理采用“赋值法”求系数之和，是研究二项展开式系数性质的重要方法，同学们要用心感情。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特殊值可减少运算量。

二、混淆“二项式系数最大项”与“系数最大项”

求二项展开式中系数最大的项时，除了采用列不等式，解不等式组的方法外，还有其他方法吗？我们来思考下面的两道例题，培养我们的创造性思维。

点评二项展开式中系数最大的项也可通过对问题的分析和推理，缩小比较的范围，使解题过程得到简化，聪明的你想到了吗？

2.本题解法“一题两制”：对于问题（1），我们运用例3的一般方法进行推导；对于问题（2），我们运用认知、枚举、比较的方法导出结论，特别地，当指数n数值较小时，（2）的解法颇为实用.

由例3、例4、例5，可归纳出求系数最大项的方法：

1.当二项式幂指数不是很大时，可由二项式定理一一展开得到，此为列举法；

2.可通过对题目的分析和推理，再通过作差或作商进行比较得到，此为夹逼法；

3.当幂指数较大时，宜采用列出不等式组的方法获得，这是通法.

同学们有没有思考过下面的问题：当所列不等式组无解时，难道二项展开式中没有系数最小（大）项吗？当然不是，有限项中，肯定有最小（大）项。其实认真想下就会明白：不等式组无解，这就意味着系数最小（大）项不在中间，也就是只可能在首尾取得。

我们在求解有关此类系数问题时，既要弄清通项公式中二项式系数的上、下标与各因式的次数及该项的项数之间的联系，又要正确区分二项展开式中的项、项的系数、项的二项式系数等概念的异同。在归纳中完善，在反思中提升，这样同学们就一定能推开一扇窗，看见满园的春色！