数形结合方法在高中数学教学中的运用

张程

摘 要：在高中数学中，数形结合是一种常用的行之有效的解题方法，它是直观思维与抽象思维相结合的产物。数形结合的解题方法可大大节省解题的时间，提高解题的准确性，尤其是用在高考的选择和填空题中更是屡试不爽，故此方法受到老师和学生的青睐。文章通过对数形结合方法及其在教学过程中的实际应用进行研究与分析，使这种方法能够更多地运用到解题中去。

關键词：数学；数形结合思想；教学实践

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）06-193-02

数学的本质是数与形的有机统一，对于数与形的关系，著名的数学家华罗庚曾作出这样的解释：数形结合百般好，隔裂分家万事非。可见数与形之间的转化是数形结合解决实际问题的关键。数字是抽象的符号信息，图形是直观的感性信息。数字与图形的转化实际就是感性认识与理性认识依据内在的数学逻辑进行转化，也就是代数与几何相结合。数形结合是研究与学习数学必不可少的方法，灵活地运用数形结合可在解决数学问题时化繁为简，解决诸多的数学问题。

一、数形结合思想实际教学中的运用

1、求解函数的值域

在实际的数学教学中，利用数形结合思想可解决诸多的函数值域问题。

例1：求函数y= + 的值域。

分析：上述函数可转化为绝对值形式，即y=|x-2|+|x+8|可看做点A（a，0）到定点B（0，2）与定点C（-8，0）之间的距离之和。如图所示：

当点A位于点B与点C之间时，点A到点B与点C的距离为一定值10；当点A位于点C左侧或点B右侧时，点A到点B与点C之和大于10。本题若对数字进行抽象的分析进行解题是很难的，但若对数字进行转化，看图说话，就容易的多了，故题中函数的值域为y≥10。

小结：在利用数形结合的方法解决实际问题是应对实际问题进行简单的分析与转化，并不是所有的求值域问题都可用此方法，要具体问题具体分析。

2、求解方程

例2：方程 =2x的解的个数是（ ）

A.3 B.2 C.1 D.0

分析：由题可以直观的看出，当x=2时，上述方程是成立的，所以答案是C，但是仔细分析的话会发现这是错误的。解题关键在于根据所给方程将其看作两个函数，即设 = ， = ，由此作图找到两个方程的交点个数即为此方程的解的个数，如图所示：

由图中可以清楚地看到两个函数的交点个数。

小结：利用数形结合的方法求解方程解的个数屡见不鲜且行之有效，关键是要学会找特殊点，本题若用数字代入进行计算也是可以的，但是用数字计算即浪费时间准确性也不高，在实际中要学会运用该方法求解方程问题。

3、求解不等式

例3：解关于x的不等式：|x|≥

分析：此题需对a进行分情况讨论，需运用数形结合的方法，若用数字进行运算的话，易混淆，若用数形结合则很容易得到答案。首先对a进行分情况讨论，

（1）当a=0时，解集为（-∞，0）∪（0，+∞）

（2）当a>0时，解集为（ ，+∞）

（3）当a<0时，解集为（-∞，- ）

小结：用数形结合的方法构造出两个紧密相关的图象，并且利用图象进行分析，是解决此类问题的常用方法。

二、如何在数学学习中培养学生的数形结合思想

1、学会数与形之间的转化

求解数学问题时，学生经常忽略数与形之间的转化，而这一环节却恰恰是解决问题的关键环节，在实际的教学中，通过对典型题型的分析达到可以举一反三的目的，由解决一个问题达到解决一类问题的目的。例如：若不等式-2≤ -2ax+6≤2恰有一个解，求实数a的值。此题如果用解不等式的方法来解的话就会特别麻烦且易出错，如果结合二次函数来求解的话就很容易解决，画图就可知a=2或者a=-2，解题就会轻松很多。再如例1中求解函数的值域问题，如果不将函数进行转化，只是进行单纯的计算数值的话就需要先去掉根式，需要对根式进行分情况讨论，无形之间就增加了解题的难度，这是不可取的。

2、形成数形结合思想

目前，学生学习数学时存在的最大的问题就是易在解决问题时形成思维定势，即易将简单的问题复杂化，其中很大一部分是缺乏数与形相结合解决问题的思想导致的。学生在解决问题时往往对数字比较敏感，惯用数字之间的联系来解决问题，这是不可取的。在高中数学教学中要经常运用数形结合的方法来解决问题，使学生遇到问题时，能够有数形结合的意识，进而形成数形结合的思想。如已知 + +2X=0，求 -2X+1+ +2Y+1的最小值。解这个题时，如果只运用数字来进行运算的话就需对第一个方程式中的参数求解，然后求第二个函数的最小值，学生运用此方法解题往往会顾此失彼得不到准确地答案，若用数形结合的方式将这两个方程在同一坐标系呈现的话，就很容易得出正确的答案。

3、在实际解题中加以运用

数形结合的思想只有运用到实践当中去才能发挥其最大价值，所以这一思想主要是在解题中实践，教师在教学过程中要注重理论与实践相结合，运用经典的练习让学生熟练地掌握此方法并灵活地运用，学生在课后要通过不断地练习，切实达到学以致用的程度，通过仔细的分析对比，将题型与解法一一对应，真正地掌握数形结合法。

通过以上分析可知，数形结合方法在高中数学教学中是一种简便易行的方法，数形结合方法的关键是形成数形结合意识并能够准确地根据题意准确地做出图像，在实际的教学中需运用大量的典型的例题来培养学生的数形结合意识，引导学生使学生对这种方法产生兴趣，进而乐于去探讨去研究去运用，并能够根据具体的题型熟练地运用，真正的理解运用，而不是机械的加以模仿，使数字与图像能够真正的结合在一起，从而提高解题的速度，减少解题时间，让学生体会到学习数学的乐趣。

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