抛体运动轨迹的数值分析

2015-07-14郝亚非

物理通报 2015年12期

关键词：成正比空气阻力初速度

郝亚非

（浙江师范大学数理与信息工程学院物理系浙江金华 321004）

1 目前大学物理教材对抛体运动问题的处理

抛体运动是大学物理课程中学习的一种典型运动.取水平向右作为Ox轴的正向，竖直向上作为Oy轴的正向.抛体在地球表面附近从坐标原点O以初速度v0沿与x轴正向成α角抛出.不考虑空气阻力，根据牛顿第二定律，有

求解得到轨迹方程

这正是大学物理教材中给出的结果［1］.根据这个结果，很容易分析出初速度和抛射角对抛体水平射程和上升高度的影响.令y＝0可求得射程2sinαcosα时，射程最大.令0，得时抛体上升的最大高度为y＝时，上升高度最大.不考虑空气阻力，抛体的运动轨迹不受质量的影响.

2 实际抛体运动的情况

实际抛体在运动过程中所受的空气阻力对它的运动轨迹有着显著的影响.文献［2］中假设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比.实际上，空气阻力与速度的关系取决于速度的大小，需要分3种情况进行分析.

（1）第一种情况，空气阻力与速度大小成正比，与速度方向相反，F＝－k1v.动力学方程可以写作

求解得到轨迹方程为

（2）第二种情况，空气阻力与速度大小的平方成正比，与速度的方向相反，F＝－k2vv，动力学方程可以写作

（3）第三种情况，空气阻力与速度大小的三次方成正比，与速度的方向相反，F＝－k3v2v.动力学方程可以写作

后两种情况的动力学方程为超越方程，无法直接得到解析解，但是可以用Matlab编程，数值求解得到抛体的运动轨迹.数值计算所需的参数不能任意选取，而需根据实际情况选取.

3 数值计算参数的选取和计算结果

考虑空气阻力与速度大小的平方成正比、与速度方向相反的情况.数值计算的参数选取如下：取0.45英寸柯尔特自动手枪弹的弹头参数，弹头质量0.015kg，横截面积1.03cm2，初速度大小 260 m／s.比例系数，其中ρ＝1.25kg／m3为空气密度，S＝1.03cm2为迎风面积，v为弹头速率，C为空气阻力系数，可以取C＝0.3.弹头在亚音速阶段的空气阻力系数可以看作常量［3］.计算得到阻力系数k2≈2×10－5kg／m.数值计算结果如图1（a）所示，很显然，抛射角越大，抛体上升的高度越大.水平射程与抛射角不成线性关系，抛射角约为35°时，水平射程最大，这和不考虑空气阻力的情况不同.为了对比，图1（b）给出了不考虑空气阻力时抛体运动轨迹随抛射角的变化关系.不考虑空气阻力，抛体上升的高度和水平射程都比考虑空气阻力时要大.图1（c）给出了考虑空气阻力时抛体运动轨迹随抛体初速度的变化关系，其中弹头的质量为0.015kg，抛射角均为35°.初速度越大，抛体上升高度越大，水平射程越大.图1（d）给出了考虑空气阻力时抛体运动轨迹随抛体质量的变化，其中初速度为260m／s，抛射角为35°.抛体质量越大，上升高度就越大，水平射程也越大.

空气阻力与速度大小的三次方成正比、与速度方向相反的情况.数值计算的参数选取如下：取0.3英寸卡宾枪弹的弹头参数，弹头质量0.007kg，初速度600m／s.比例系数k3的确定：假定弹头初速度为260m／s时，与速度大小三次方成正比的空气阻力和与速度大小平方成正比的空气阻力相同，得到k3≈8×10－8（kg·s）／m2.计算结果表明，考虑空气阻力时，抛体上升高度和水平射程都远小于不考虑空气阻力的情况，其中，抛射角约为35°水平射程最大.同一个抛体以同样的抛射角抛出，初速度越大，上升高度和水平射程越大.质量不同的抛体以同样的初速度和抛射角抛出，质量越大，上升高度和水平射程越大.模拟结果如图2（a）～（d）所示.

图1 空气阻力与速度大小的平方成正比的模拟结果

空气阻力与速度大小成正比、与速度方向相反的情况.虽然可以得到抛体运动轨迹方程的解析解，但是分析抛射角、初速度、抛体质量的变化对运动轨迹的影响仍然有一定难度.为了直观地看出抛体运动轨迹随这些参数的变化，对运动轨迹进行了数值计算.数值计算的参数选取如下：假定一颗质量为0.015kg的子弹头，用手以20m／s的初速度抛出.比例系数k1的确定：假定弹头初速度为260m／s时，与速度大小成正比的空气阻力和与速度大小平方成正比的空气阻力相同，得到k1≈0.005kg／s.空气阻力与速度大小成正比的情况，抛射角约为45°时，水平射程最大，这和不考虑空气阻力的情况相同.初速度和质量对运动轨迹的影响与前面分析的两种情况相同，抛体初速度越大，质量越大，抛体上升高度越大，水平射程越大.模拟结果如图3（a）～（d）所示.