建立不等式模型解决实际问题

湖北省秭归县沙镇溪镇初级中学 王祥平

下面两例分别取材于实际生活的节水问题和个人收入所得税的问题，它能通过建立恰当的数学模型使问题获解，是考察建模能力的好题。但遗憾的是一些参考解答的建模不够合理，甚至由于建模不合理出现解答错误的情况。本人认为此类应用题易建立不等式模型解之。

例1.为加强公民的节水意识，某城市制定了以下水费收费办法：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费。设某户每月用水量为x（立方米），应交水费y（元）。

（1）分别写出用水未超过7立方米和超过7立方米是y与x之间的函数关系式；

（2）如果某单位共有用户50户，某月共交水费541.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？

解 ：（1）当0≤x≤7时，

y=1.2x(0≤x≤7)； ①

当x＞7时，

y=1.9(x-7)+8.4(x＞7).②

(2)设有x户的用水量未超过7立方米，则有（50-x）户的用水量超过7立方米但未超过10立方米，根据题意得：

8.4x+(5.7+8.4)(50-x)≥541.6

解得x≤28.67

所以x的最大整数解是x=28

故用水未超过7立方米的用户最多为28户。

说明其中式子8.4x表示x户用水7立方米的水费，它应大于或等于x户这个月的实际用水水费；式子(5.7+8.4)(50-x)则表示(50-x)户用水10立方米的水费，同样也应大于或等于(50-x)户这个月的实际用水水费。

在有些参考解答中对第（2）题的解法是：

设有x户用水未超过7立方米，那么要使x的取值最大，则这x户用水应刚好为7立方米，而另外（50-x）户用水量应尽可能大，不妨设为10立方米。依题意得

8.4x+(5.7+8.4)(50-x)=41.6

解得，x≈28.67

若x=29，此时交费的最大总额为298.4+21×14.1=537.9＜541.6.所以取x=28.

在这个解答中，“要使x的取值最大，则这x户用水应刚好为7立方米，而另外（50-x）户用水量应尽可能大，不妨设为10立方米”使人很难看懂；在建立方程解出x≈28.67后，如何取近似值？为什么要对x=29进行试验，而x=28不需检验，也让同学们感到难以把握。此题在“未超过7立方米”“未超过10立方米”及“求最多可能有多少户”等诸多信息的提示下很容易联想到建立不等式模型去解。事实上建立不等式模型去解，就可以克服以上弊端。

例2.《中华人民共和国个人所得税法》规定个，公民全月工资，薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得税，此项税款按小表分段累计计算：_

（1）若某人3月份应交纳此项税款为115元，则他的当月工资薪金为多少？

（2）如果沙镇溪初级中学共有教职工100人，某月交纳税款5000元，且每人的当月工资薪金都在超过1600元而不超过2500元之间，求当月工资薪金不超过2100元的教职工最多可能有多少人？

解：（1）设某人当月工资薪金为x元，

∵500×5%=25（元）

（2000-500）×10%=150（元）

（25+150）=175元＞115元

∴他的当月工资薪金应小于3600元而大于2100元。

500×5%+（x-2100）×10%=115

解得 x=3000

答：他当月工资薪金为3000元。

（2）设当月工资薪金不超过2100元的教职工有y人，则当月工资薪金超过2100

元但未超过2500元的教职工有（100-y）人，根据题意：

500×5%y+500×5%（100- y）+（2500-2100）×10%（100-y）≥5000

解得y≤37.5

∴y的最大整数解是y=37

答：当月工资薪金不超过2100元的教职工最多可能有37人。

从以上两例可以看出当问题中出现“不超过”“最多”“至少”等关键词的实际应用题，可考虑建立不等式的数学模型解之。