以思想方法为导向 寻找解题的灵魂—从几个自主招生试题谈起

广东省深圳市第二实验学校 陶继智

函数与方程的思想方法、转化与化归的思想方法、数形结合的思想方法、逻辑划分的思想方法等，是中学数学的基本思想方法。如果说数学方法是数学思想的具体体现形式的话，那么，数学思想就是妙解数学问题的灵魂。本文就数学思想方法解决自主招生和数学竞赛中的几个热点问题之应用谈点体会。

一、多项式与方程问题

多项式与方程的零点问题一直是自主招生考试中的一个热点问题，因为它特别能体现各种代数知识点的交汇，如韦达定理、零点存在定理、整数系数多项式的根及其推论、函数性质、三角问题等，这类问题常常能体现考生的数学代数功底，因此颇受命题老师的青睐。解决此类问题常常通过换元的手段，运用函数与方程、数形结合、逻辑划分等数学思想方法，等价化归为已知问题求解。

[例]（2008年北京大学自主招生）：已知a1+ a2+ a3= b1+ b2+b3，

联想到韦达定理，构造函数

而函数f( x)与g( x)仅仅是常数项不同的两个多项式，说明g( x)的图象就是把f( x)的图象向下平移个单位。（如图）

[评析]本例结合条件联想到韦达定理利用函数与方程的思想构造函数，使问题得以顺利进入求解过程，结合函数的特点利用数形结合的思想使得以顺利求解。

二、恒成立问题

恒成立问题由于涉及常见函数的性质、图象、导数、不等式等重要知识点，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此它不仅在近年来高考中频频出现，也是自主招生和数学竞赛中的重要考点。恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解。

[例]（2 0 0 9年北京大学自主招生）已知对任意x∈R均有a cos x + b cos2 x ≥-1恒成立，求a+b的最大值.

[解]：令cos x=t∈[-1,1]，则原不等式等价于2bt2+ at- b -1 ≥ 0,t ∈[-1,1]恒成立.令f( t) = 2b t2+ at-b +1，t∈[-1,1]

1.当b=0时，f( t) =at+1，则f(- 1) ≥0，且f (1) ≥0，从而a+b≤1

2.当b＜0时，对于f( t) = 2b t2+ at-b +1，t∈[-1,1]有f( t)min=f (1)或f( t)min=f(-1)，故f(- 1) ≥0，且f (1) ≥0则a+b＜1

3．当b＞0时，

①若-a＜-1，即a

4b＞4 b时 ，f( t)min=f(-1)=2b -a-b+1≥0， 令a+b=u，如图：当直线a+b=t 过点(a,b)时u 有最大值.

令a+b=u，如图：当直线a+b=u 过点(0,0)时u 有最大值.a+b≤0.

或者：用Cauchy不等式解决：

[评析]这是一个典型的利用数学思想方法解决问题的范例，首先用转化与化归的思想方法把问题转化为求二次函数在区间[-1，1]上的最值问题，继而利用逻辑划分和数形结合的思想方法求函数最值，当然，局部问题还可以化归为Cauchy不等式来解决。

三、不等式与最值问题

不等式问题由于解题方法没有固定程序，因题而异，而且灵活多样，技巧性强，是考查考生思维灵活性、严谨性、创新性甚至批判性的重要途径，因此，无论是高考还是自主招生和数学竞赛到处都有它的出现。不等式问题常常分为三类：证明不等式、解不等式和不等式的应用。解决不等式问题常常要用到的基本知识点有均值不等式、Cauchy不等式、排序不等式、Jensen不等式等，常常用到的方法有综合法、分析法、构造法、换元法、数学归纳法等，数学思想的运用更是无处不在。

[例]对ΔABC和任意实数x,y,z，证明：x2+ y2+ z2≥ 2 yz cos A + 2 zx cos B +2 xy cosC成立，

等号当且仅当x: y: z =sin A :sin B :sin C时取得.

[证明]结合不等式的形式，构造函数

∴f( x) ≥0恒成立，即原不等式成立.

[评析]本问题结合原不等式的形式，利用函数与方程的思想方法，构造一个二次函数来解决问题。其实这是一个非常重要的不等式，利用它我们可以使很多问题转化解决。

理解中学数学思想方法的本质，掌握基本数学思想方法，会根据实际情况，选择恰当的数学思想方法，从而就找到了解决数学问题的灵魂。