基于区间粗糙直觉模糊数的多属性决策方法

余高锋, 刘文奇

(1.三明学院 信息工程学院，福建 三明 365004； 2.昆明理工大学 理学院，云南 昆明 650093)



基于区间粗糙直觉模糊数的多属性决策方法

余高锋1, 刘文奇2

(1.三明学院 信息工程学院，福建 三明 365004； 2.昆明理工大学 理学院，云南 昆明 650093)

研究了区间粗糙直觉模糊多属性决策。探讨了区间粗糙直觉模糊数的运算法则及其性质；定义了区间粗糙直觉模糊数的得分函数和精确函数，进而给出其排序方法；给出了区间粗糙直觉模糊数的变权算术平均和变权几何平均算子，并且建立了区间粗糙直觉模糊数的多属性决策模型；实例验证了所提出决策方法的有效性。

区间粗糙直觉模糊数；多属性决策；集成算子 变权向量

0 引言

自Atanassov于1986年提出直觉模糊集的概念[1]以后，有关于直觉模糊集的研究引起了人们的高度重视。直觉模糊集的特点是同时考虑了隶属度，非隶属度和犹豫度三方面的信息，比Zadeh的模糊集[2]在处理模糊性和不确定性等方面更具有灵活性和实用性。因而引起众多学者的关注，已经在多属性决策(MADM)领域得到广泛应用[3～22]。

近20年来，直觉模糊集理论也得到了进一步的发展，目前关于它的拓展形式主要有区间直觉模糊集[3～9]、三角直觉模糊数(TIFN)[10～13]、直觉梯形模糊数(TrIFN)[14～18]和区间直觉梯形模糊数(IVTrIFN)[19,20]。文献[3]用区间数表示隶属度和非隶属度，将直觉模糊集扩展至区间直觉模糊集。文献[5]对区间直觉模糊信息的集成方法进行了研究。文献[6]提出了区间直觉模糊数有序加权平均算子和区间直觉模糊数混合集结算子，定义了区间直觉判断矩阵及其得分矩阵和精确矩阵等新概念。文献[7]建立一种基于可能度的区间直觉模糊数的群决策方法。文献[8] 建立一种基于TOPSIS方法的区间直觉模糊决策的非线性规划求解模型。文献[9]建立基于接近度的权重信息不完全的区间直觉模糊决策的非线性规划求解模型。文献[10,11]定义三角直觉模糊数运算法则及其特征，提出基于模糊度和扩张度的排序方法，并应用于多属性决策。文献[12]提出三角直觉模糊数的可能性均值方差，建立一种基于三角直觉模糊数的权重信息不完全多属性决策模型。文献[13]利用VIKOR方法建立三角直觉模糊群决策模型。文献[14～16]提出直觉模糊梯形集成算子和直觉模糊梯形功率平均算子及其在决策中的应用。文献[17,18]讨论直觉模糊梯形数的可能性均值方差及其在多属性决策和矩阵博弈中的应用。文献[19]讨论了区间直觉模糊梯形数的运算法则及其性质，给出了区间直觉模糊梯形数的加权算术平均和加权几何平均算子，并给出了其排序方法，建立了基于区间直觉梯形模糊数的多属性决策模型。文献[20]针对属性值为区间直觉模糊梯形数且属性权重为区间数的多属性决策问题，提出一种基于分式规划的决策方法。文献[22]建立基于模糊LINMAP法的具有不同类型信息的混合型多属性决策。

由于客观事物的复杂性和不确定性，直觉模糊集中的隶属度和非隶属度有时很难用精确的实数值表达。粗糙集是两个可计算的清晰集(上近似和下近似)刻画的，能够较准确地描述一些具有模糊性和不确定的信息。不难发现，隶属度和非隶属度的值可通过形如([a,d],[c,d])的粗糙集来表示，而这种表示通过统计计算即可得到。比如隶属度用一个区间粗糙数([0∶2;0∶3];[0∶1;0∶4])来表示，其可解释为隶属度肯定在0∶2到0∶3之间，而有可能在0∶1到0∶4之间。为此本文提出了区间粗糙直觉模糊数的概念，在刻画客观世界的模糊性本质方面，比区间直觉模糊集[3～8]、三角直觉模糊数、直觉梯形模糊数和区间直觉梯形模糊数更为精细和准确，因而将IRIFN应用于决策领域更为具有理论和现实意义。为此，本文探讨了IRIFN的运算法则，定义其得分函数和精确函数，给出其排序方法，定了IRIFN的变权算术平均和变权几何平均算子，并将其应用于MADM领域。

1 预备知识

一个粗糙集是通过一个等价关系而产生的一个精确集，分别称为下近似和上近似。将等价关系引申到一般情形，提出了一种不具有对称性和传递性，但有自发性的二元相似关系，用符号“≌”表示，并且给出了基于相似关系的粗糙近似的一般定义。

定义1[23,24]设U是一个论域，并且X是一个表示概念的集合，其下相似和上近似分别定义为

定义3 一个区间粗糙数是上近似和下近似均为区间的粗糙集，记为([a,d],[c,d])，其中c≤a≤b≤d。

(1)ω(x)≥0 ;

(2)eTω(x)=1;

(4)变权综合函数v(x)=xTω(x)单调递增；

则称ω(x)以p为激励策略的变权向量，简称变权向量；称p为变权向量ω(x)的激励策略。

2 区间粗糙直觉模糊数

2.1 区间粗糙直觉模糊数

2.2IRIFN的运算法则及其性质

受文献[6]的定义的区间直觉模糊数运算法则的启发，本节给出了IRIFN的运算法则。

上述所有运算结果仍然区间粗糙直觉模糊集，同时易得以下性质：

2.3IRIFN的排序方法

(1)

(2)

式(1)以隶属度与非隶属度差的中间值来定义得分函数，式(2)以隶属度与非隶属度和的中间值来定义精确函数，不仅考虑了IRIFN的取值域，而且兼顾了IRIFN的隶属度和非隶属度的特点。

类似地可以定义小于关系、小于等于关系。

3 IRIFN的集成算子

对区间粗糙直觉模糊信息进行集成，下面给出区间粗糙直觉模糊数的变权算术平均算子和变权几何平均算子等概念:

(3)

(4)

由定义9和定义10可知，若激励策略值P=e, 即ω(x)为惩罚型变权向量，则IRIFN-VWAA和IRIFN-VWGA分别为惩罚型变权算术平均算子和惩罚型变权几何平均算子；若激励策略值P=0，即ω(x)为激励型变权向量，则IRIFN-VWAA和IRIFN-VWGA分别为激励型变权算术平均算子和激励型变权几何平均算子；若激励策略值P∈{0,1}n, 即ω(x)为混合型变权，则IRIFN-VWAA和IRIFN-VWGA分别为混合型变权算术平均算子和混合型变权几何平均算子。若为退ω(x)化为常权向量，则IRIFN-VWAA和IRIFN-VWGA也分别退化为加权算术平均算子和加权几何平均算子。

决策者根据自己的偏好选择激励策略p，选取不同的值。当属性值高于激励策略，权重函数是属性值增函数，即对于属性值高于激励策略进行激励；反之，当属性值低于激励策略，权重函数是属性值减函数，即对于低于激励策略进行惩罚，因此比传统的算子更加合理和科学，更能体现决策者的心理状态和认知程度。IRIFN-VWAA和IRIFN-VWGA的侧重点有所不同，前者强调个人的作用，后者强调群体的影响，但是两者都具有良好的均衡性。

定理1和定理2利用数学归纳法证明，证明步骤如文献[19]，因此这里省略。

4 基于IRIFN的多属性决策方法

(1)对于收益型属性，其转化公式为

(5)

(6)

(2)对于成本型属性，其转化公式为

(7)

(8)

下面给出了一种基于IRIFN-VWAA和IRIFN-VWGA的区间粗糙直觉模糊决策的途径：

4 实例分析

考虑某一个地区企业信用评估，选取3个企业为评价对象，选定5个属性：创新能力a1，抵御市场风险能力a2，生产能力a3，财务质量a4和管理能力a5。这些指标均为效益型定性属性，决策者可采用不同的语言集进行评价。假设各评价对象在各个指标下的评估信息处理经过统计处理后可表示成IRIFN，如表格1所示。各属性的初始权重w0=(0.3,0.2,0.2,0.1,0.2)。

表1 模糊决策矩阵

表2 各企业的综合区间粗糙直觉模糊数

表3 各企业的综合区间粗糙直觉模糊数

利用IRITFN-VWAA和IRITFN-VWGA算子得到各方案的综合IRITFN；最后计算其得分函数与精确函数。结果如表2和表3所示。可见两种算子集成得到的得分函数都是S(A2)≥S(A3)≥S(A1)方案排序A2A3A1为最佳企业信用为A2。

5 总结

研究了区间粗糙直觉模糊多属性决策。探讨了区间粗糙直觉模糊数的运算法则及其性质；定义了区间粗糙直觉模糊数的得分函数和精确函数，进而给出其排序方法；给出了区间粗糙直觉模糊数的变权算术平均和变权几何平均算子，并且建立了区间粗糙直觉模糊数的多属性决策模型。此模型有以下优点：(1)区间粗糙直觉模糊数的隶属度和非隶属度值利用区间粗糙数来表示，比区间直觉模糊数能够较准确地描述一些具有模糊性和不确定的信息；(2)本文提出的区间粗糙直觉模糊信息集成算子，引入变权的思想，因此决策者根据自己的偏好，选择激励策略p，充分地体现决策过程的柔性。对于区间粗糙直觉模糊的有序加权算子、混合集成算子及其在MADM和群决策中的应用尚有待进一步研究。

[1] Atanassov K T. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy sets and systems, 1986, 20(1): 87-96.

[2] Zadeh L A. Fuzzy sets[J]. Information and Control, 1965, 8(3): 338-353.

[3] Atanassov K, Gargov G. Interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy sets and systems, 1989, 31(3): 343-349.

[4] Atanassov K. Operators over interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy sets and systems, 1994, 64(2): 159-174.

[5] 徐泽水.区间直觉模糊信息的集成方法及其在决策中的应用[J].控制与决策,2007,22(2):215-219.

[6] 徐泽水,陈剑.一种区间直觉模糊判断矩阵的群决策方法[J].系统工程理论与实践,2007.21(5):126-133.

[7] Wan S P, Dong J Y. A possibility degree method for interval-valued intuitionistic fuzzy multi-attribute group decision making[J]. Journal of Computer and System Sciences, 2014, 80(1): 237-256.

[8] Li D F. TOPSIS-based nonlinear-programming methodology for multiattribute decision making with interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J]. IEEE Trans on Fuzzy Systems, 2010, 18(2): 299-231.

[9] Li D F. Closeness coefficient based nonlinear programming method for interval-valued intuitionistic fuzzy multiattribute decision making with incomplete preference information[J]. Applied Soft Computing, 2011, 11(4): 3402-3418.

[10] Li D F, Nan J X, Zhang M J. A ranking method of triangular intuitionistic fuzzy numbers and application to decision making[J]. International Journal of Computational Intelligence Systems, 2010, 3(5): 522-530.

[11] Li D F. A ratio ranking of triangular fuzzy number and its application to MADM problems[J]. computers and Mathematics with Applications, 2010, 60(6): 1557-1570.

[12] Wan S P. Multi-attribute decision making method based on possibility variance coefficient of triangular intuitionistic fuzzy numbers[J]. International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 2013, 21(2): 223-243.

[13] Wan S P, Wang Q Y, Dong J Y. The extended VIKOR method for multi-attribute group decision making with triangular intuitionistic fuzzy numbers[J]. Knowledge-Based Systems, 2013, 52: 65-77.

[14] Wang J Q, Zhang Z. Aggregation operators on intuitionistic trapezoidal fuzzy number and its application to multi-criteria decision making problems[J]. Journal of Systems Engineering and Electronices, 2006, 20(2): 321-326.

[15] 万树平.多属性群决策的直觉模糊数法[J].控制与决策,2010,25(5):773-776.

[16] Wan S P. Power average operators of trapezoidal intuitionistic fuzzy numbers and application to multi-attribute group decisionmaking[J]. Applied mathematical modelling, 2013, 37(6): 4112- 4126.

[17] 万树平,张小路.基于加权可能性均值的直觉梯形模糊数矩阵博弈求解方法[J].控制与决策,2012,27(8):1121-1126.

[18] 万树平,张小路,李登峰.直觉梯形模糊群决策的可能性均值方差方法[J].系统工程学报,2012,27(6):782-788.

[19] 万树平.基于区间直觉模糊梯形的多属性决策方法[J].控制与决策,2011,26(6):857- 860.

[20] 万树平.基于分式规划的区间梯形直觉模糊数多属性决策方法[J].控制与决策,2012,27(3):455- 458.

[21] 万树平.直觉模糊多属性决策方法综述[J].控制与决策,2010,25 (11):1601-1606.

[22] Wan S P, Li D F. Fuzzy Linmap approach to heterogeneous MADM considering the comparisons of alternatives with hesitation degrees[J]. Omega-The International Journal of Management Science, 2013, 41(6): 925-940.

[23] Pawlak Z. Rough sets[J]. International Journal of Computer and Information Science, 1982, 11(5):341-356.

[24] Pawlak Z. Rough set and fuzzy set[J]. Fuzzy sets and Systems, 1985, 17: 99-102.

[25] 刘文奇.一般变权原理与多目标决策[J].系统工程理论与实践,2000,3(3):1-11.

Multi-attribute Decision Making Method Based on Interval-valued Rough Intuitionistic Fuzzy Number

YU Gao-feng1, LIU Wen-qi2

(1.SchoolofInformation,SanmingUniversity,Saming365004,China; 2.SchoolofScience,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650093,China)

Interval-valued rough intuitionistic fuzzy number is investigated. Some operational laws of interval-valued rough intuitionistic fuzzy numbers are defined and some related properties are researched, and the weighted arithmetic average operator and weighted geometric average operator for the interval-valued rough intuitionistic fuzzy numbers are given. The score function and accurate function of rough intuitionistic fuzzy numbers are defined, and then an approach for ranking interval-valued rough intuitionistic fuzzy numbers is presented. The model of multi-attribute decision making is constructed based on interval-valued rough intuitionistic fuzzy numbers. The corresponding method of decision making is proposed. The example analysis shows the effectiveness of the method.

interval-valued rough intuitionistic fuzzy number; multi-attribute decision making; aggregation operator; variable-weight vector

2013- 06-24

国家自然科学基金重点项目(71231003);国家自然科学基金项目(71171055，70871117);福建省自然基金项目(2012J012802,2015J01287);福建省教育厅科技项目(JA14295);福建省大学生创新创业训练计划项目(201311311023)

余高锋,(1986-)男,助教,硕士,从事决策分析和博弈论等研究；刘文奇(1965-)男,教授,从事决策分析的研究。

C934

A

1007-3221(2015)04- 0023- 07