一类无理函数最值问题的常见解法

李生兵

题目 已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（）。

解法1：平方法。

函数f（x）的定义域为[-3，1]。

令

由g（x）的图像可知：当z∈[-3，-1]时，g（x）单调递增；当x∈[-1，1]时，g（x）单调递减。故当x∈[-3，-1]时，g（x）的最大值为g（-l）=4，最小值为g（-3）=g（1）=0。

故

又厂（x）>0，从而

故，m=2。

解法2：构造向量法。

函数f（x）的定义域为[-3，1]。

设向量

设向量a、6的夹角为θ。

根据图像，当，即x=-l时，cosθ取得最大值l，则a·b的最大值为，即f（x）的最大值为；当0或，即x=1或x=-3时，cosθ取得最小值，则a·b的最小值为2，即f（x）的最小值为2。

故，m=2。

注：也可利用|a·b|≤|a|·|b|，即，当且仅当，即x=-l时，等号成立，得。

解法3：三角换元法。

函数f（x）的定义域为[-3，1]。

设。易得y>0。

令，则

由，且1，得：当时，y取得最小值2，即f（x）取得最小值2；當时，y取得最大值，即f（x）取得最大值。

故，m=2。

解法4：数形结合法。

设，则且

方程（l）表示斜率为-1的线段ι；方程（2）表示以（0，0）为圆心、半径为2的圆周的1/4（不妨设为曲线c）。

原问题可转化为：线段ι过曲线C上的点，求线段ι在v轴上的截距y的取值范围。

结合图像，可得：当线段ι过曲线C上的点（O，2）和（2，O）时，y取得最小值2；当线段ι与曲线C相切时，y取得最大值，易求得该最大值为。 对于形如（ac≠0，其中（ax+b）+（cx+d）为常数）的无理函数最值（值域）问题，除了用上述方法解决，还可利用导数法等方法解决。

跟踪训练

1.求函数的最大值和最小值。

2.求函数的值域。

参考答案：l.y的最小值为1，最大值为。2.所求值域为。