浅谈一题多解在几何教学中的应用

苏朝帅

大家都知道数学题是做不完的，要学好数学还是要从提高学生思维能力和学习兴趣入手。而一题多解是开拓思维，培养数学学习兴趣和数学解题能力的一种非常有效的途径。它要求学生的头脑里构建起一个数学知识的基本框架。这个框架包含不同的知识，只有头脑里存储足够的基本知识点，学生才能够不断展开思路，尝试用不同的方法解题，这种几何学习方法对于学生开拓思路，激发他们学习的热情有着不错的收益。因此，我们在几何教学中，可以适当的采用一题多解的方法进行教学，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的，从而培养创新精神和创造能力。

例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D。

求证：∠DBC= ∠BAC.

分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用

三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。

证法一：∵在△ABC中，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=（180°-∠BAC）=90°-∠BAC。

∵BD⊥AC于D ∴∠BDC=90°

∴∠DBC=90°-∠C=90°-（90°- ∠BAC）=∠BAC

即∠DBC= ∠BAC

分析二：∠DBC、∠BAC分別在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ?∠BAC”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把?∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。

证法二：如图2，作AE⊥BC于E，则∠EAC+∠C=90°

∵AB=AC ∴∠EAG= ∠BAC

∵BD⊥AC于D

∴∠DBC+∠C=90°

∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）

即∠DBC=∠BAC。

证法三：如图3，在AD上取一点E，使DE=CD

连接BE

∵BD⊥AC

∴BD是线段CE的垂直平分线

∴BC=BE ∴∠BEC=∠C

∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C

∵AB=AC

∴∠ABC=∠C

∴∠BAC=180°-2∠C

∴∠EBC=∠BAC

∴∠DBC=∠BAC

说明：也可以取BC中点为E，连接DE，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。

同时在一题多解中要着重从以下几个方面注重培养学生的创造思维能力。

第一，要注意培养发散思维。

第二，要注意诱发学生的灵感。

第三，充分利用“学生渴求他们未知的、力所能及的问题”的心理，培养学生的创新兴趣。

第四，教师应当充分地鼓励学生发现问题、提出问题、讨论问题、解决问题，通过质疑、解疑，让学生具备创新思维、创新个性、创新能力。

他山之石，可以攻玉。巧借数学工具，既降低了学生对数学题的畏惧感，激发了他们的学习兴趣，同时授人以鱼，不如授人以渔。通过一题多解、一题多变还可培养学生的发散思维能力，取得良好的教学效果。