立体几何中判断线、面位置关系的三大利器

福建省南平市光泽县光泽一中 芮科明

立体几何中线、面的位置关系包括线与线、线与面、面与面之间的平行或垂直关系，这里面的关系错综复杂，而高考选择、填空题常常会在这里面做文章，令很多考生颇感头疼。掌握好下面三大利器，可以让同学们赢得信心，真正做到考场上得心应手、十拿九稳，这三大利器就是：牢记定义、定理；重视几个常用的结论；合理使用举反例法。下面分三点来逐一加以说明。

一、牢记定义、定理

为了使思路更加清晰，可以借助下面的网络图。

对于线、面的平行关系，有下面的网络图，如图1。

序号（1）～（5）分别代表以下判断定理或性质定理.

第一，线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

第二，线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

第三，面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

第四，两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

第五，如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

第四和第五，均可视为面面平行的性质定理。

对于线、面的垂直关系，有下面的网络图，如图2。

序号（6）～（9）分别代表以下判断定理或性质定理：

第六，线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

第七，线面垂直的性质定理：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。这条性质实际上是由线面垂直的定义得到的。

第八，面面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

第九，面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

通过以上两个网络图，如果再进一步针对每个定理逐一画出图形、写成符号语言，那么有关定理可以说基本上完成了识记这关键的一步。

二、重视几个常用结论

光凭判定定理和性质定理显然还不足以对一些命题进行快速的判断，我们还需掌握一些定理以外的常用结论。同样我们可以利用下面的网络图3来帮助记忆：

序号（10）～（13）分别代表以下有用的结论：

第十，如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

第十一，垂直于同一个平面的两条直线平行。

第十二，垂直于同一条直线的两个平面平行。

第十三，一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

把上述定理、常用结论（1）～（13）全部汇总到一起，就可以得到下面的网络图。

在此基础上，再记住三个个关于平行的传递性结论。

第十四，和第三条直线都平行的两条直线平行。

第十五，和第三个平面都平行的两个平面平行。

第十七，平行于同一个平面的两条直线未必平行，平行于同一条直线的两个平面也未必平行。

三、合理使用举反例法

对于一个假命题，往往利用举反例的方法来判断，会很凑效。由于举反例法仅适用于对假命题的判断，故要“合理使用”。

例：（2013广东（理））设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,

下列命题中正确的是（ ）

A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β，则m⊥n

B.若α//β,m⊂α,n⊂β，则m/ /n

C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β

D.若m⊥α,m/ /n,n/ /β, 则α⊥β

分析：用排除法，由画图可知选项A中m和n也可能平行，排除A，选项B中m和n也可能异面，排除B，对于选项C，宜采用举反例法，如图5

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D1⊂平面A1B1C1D1，BC⊂平面ABCD，A1D1⊥BC 但是平面A1B1C1D1与平面ABCD是平行关系，而不是垂直关系。