一类具粘性阻尼项的拟线性波动方程解的存在性

宋瑞丽，王宏伟

（1.中原工学院信息商务学院，郑州450007；2.安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳455000）

一类具粘性阻尼项的拟线性波动方程解的存在性

宋瑞丽1，王宏伟2

（1.中原工学院信息商务学院，郑州450007；2.安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳455000）

针对三维空间中一类具有粘性阻尼项的拟线性波动方程的初边值问题，用Galerkin方法和紧性原理，证明了该问题局部广义解和局部古典解的存在性和唯一性。

具粘性阻尼；拟线性波动方程；局部解；初边值问题

引言

本文研究三维初边值问题其中，α＞0，β＞0，p≥1，q＞1为常数，f（s）是非线性函数，Ω是R3中具有光滑边界的有界区域。

方程（1）是在控制粘弹性固体组成的变率型材料的运动中提出的一类具阻尼项非线性波动方程［1-2］。具阻尼项波动方程解的存在性是近年来偏微分方程研究的热点，很多文献对此类方程已有研究［3-6］。李玉环，刘盈盈和穆春来用Δu代替方程（1）中的Δf（u），在动态边界条件下给出了解爆破的条件［7］。Yang zhijian，Chen guowang分别用f（ut），g（u）代替方程（1）中的，，在一维空间中证明了方程（1）～（3）整体解的存在唯一性［8］。Chen guowang，Yue hongyun和Wang shubin在一维空间中证明了问题（1）～（3）局部解的存在性并给出解爆破的条件［9］。李敏和林国广添加阻尼项并用Δu代替方程（1）中的Δf（u），在α≠1时，证明该方程解的存在性和指数衰减性［10］。陈杰诚，范大山和张纯洁证明了带阻尼波动方程在小初值下Cauchy问题的全局解［11］。本文在三维空间中，用Galerkin方法和紧性原理，研究问题（1）～（3）局解的存在唯一性。

本文采用记号：（·，·）表示L2（Ω）空间的内积，和分别表示空间和）的范数，特地有表示空间Wm，p（Ω）的范数。Ci（i＝1，2，…）表示不依赖于N和t的正常数。

1 局部解的存在性和唯一性

其中，˙αNs（t）表示αNs（t）对t求导。

引理1设f∈C3（R）

K sv－1等和f″（0）＝0，其中v≥2是自然数，K＞0为常数。q＞1，p≥1且min｛p＋1，q＋1｝≥3，如果那么方程（4）、（5）在［0，t1］上有古典解α（t）＝（αN1（t），αN2（t），…αNN（t）），并且

一致有界，其中t1＞0，M1＞0是不依赖于界M和N的常数，，且

证明根据常微分方程理论知道方程（4）、（5）的局部解总是存在的。记［0，TN］是解存在的最大时间区间，对解进行估计。（4）两边同乘以2（1＋λs＋λ2s）˙αNs（t），对s＝1，2，…，N求和，两边各加上2［（uN，uNt）－（▽2uN，uNt）＋（▽3uN，▽3uNt）］，并对x分部积分，得

用Gagliardo－Nirenberg内插定理和（8）式可得

其中，0≤¯m≤m－1≤4，0≤~m≤m－2≤3，用Hölder不等式，式（10）、式（11）和引理1的假定，可得

利用求导通过直接计算以及对f（s）的假定，推出

由Hölder不等式，Cauchy不等式和（8）式、（14）式可得

用微分法，经简单计算可得

由（14）式、（16）式和（17）式可得

用Hölder不等式和（8）式，有

把式（12、（13）、（15）、（18）－（21）代入式（9）中，令δ＝，可得

其中，M1＞0是不依赖于N的常数。对任意的t∈（0，TN），从（22）式可得

若取t1使0＜1＋（1－δ）M1t1Aδ－1＜η成立，其中0＜η＜1，则（7）式在［0，t1］上成立。这说明TN有不依赖于N的正下界。引理1证毕。

引理2在引理1的条件下，问题（1）～（3）的近似解uN有估计：

常数，q＞1，p≥1且min｛p＋1，q＋1｝≥3。如果u0∈H2（Ω），u1∈H2（Ω），那么初边值问题（1）～（3）存在唯一的局部广义解u（x，t）。

证明方程（4）两边同乘以2¨αN，s（t），乘积对s＝1，2，…，N求和，得

利用Cauchy不等式，Hölder不等式，式（14）、（16）、（17）、（24）、（25）可得，从（24）式和Sobolev嵌入定理，推出

其中0＜λ≤0.5。由（26）式根据Ascoli－Arzela定理可知存在函数u（x，t）和函数列｛uN（x，t）｝的子列，仍记为｛uN（x，t）｝，使得当N→∞，｛▽iuN（x，t）｝（i＝0，1，2）和｛uNt（x，t）｝在¯QT上一致收敛于▽iu（x，t）（i＝0，1，2）和ut（x，t）。根据弱紧性定理知子序列｛▽iuNt（x，t）｝（i＝1，2，）在L2（Qt1）中分别弱收敛于｛▽iut（x，t）｝（i＝1，2，），因此问题（1）～（3）存在局部广义解。下面证明局部广义解的唯一性。

假设u（x，t），v（x，t）是问题（1）～（3）的两个广义解。令ω（x，t）＝u（x，t）－v（x，t），则

（27）式乘以－2▽2ωt，两边同时加上2ωωt－2▽4ωωt并在Ω上积分并由Cauchy不等式可推出

为了证明问题（1）－（3）存在局部古典解，对近似解作进一步的估计。

引理3假设引理2的条件成立，且f∈C7（R），f（2l－1）（0）＝0，l＝1，2，3，4，u0∈H7（Ω），u1∈H6（Ω），则问题（1）－（3）的近似解有估计

证明方程（4）两边同乘以2（1＋λ6s）˙αNs（t），对s＝1，2，…，N求和，两边各加上2［（uN，uNt）＋（▽2uN，▽12uNt）］并对x分部积分，可得

由Hölder不等式，Cauchy不等式，（32）式可得

把（33）－（36）式代入（32）式中，类似（22）式可推出

利用Cauchy不等式，Hölder不等式，类似（33）－（35）式的推导，由（39）式可得

结合（37）、（38）、（40）式可知（31）式成立。引理3证毕。

定理2设f∈C7（R），≤，其中v≥2是自然数，K＞0为常数，q＞1，p≥1且min｛p＋1，q＋1｝≥3。如果u0∈H7（Ω），u1∈H6（Ω），那么初边值问题（1）－（3）存在唯一的局部古典解u（x，t）。

证明从（31）式和Sobolev嵌入定理得

其中0＜λ≤0.5。由（26）式，根据Ascoli－Arzela定理可知初边值问题（1）～（3）存在局部古典解其中u（x，t）。显然初边值问题（1）～（3）的古典解也是唯一的。定理2证毕。

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The Existence of Solution for a Kind of Viscous Dam ped Quasi-linearWave Equations

SONG Ruili1，WANG Hongwei2
（1.College of Information＆Business，Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China；2.School of Mathematics and Statistics，Anyang Normal University，Anyang 455000，China）

The existence and the uniqueness of the local generalized solution and the local classical solution for the initial boundary value problem for a class of viscous damping quasi-linear wave equation in three-dimensional space are proved by the Galerkin method and compactness principle.

viscous damping；quasi-linear wave equations；local solution；the initial boundary value problem

O175.29；O175.27

A

1673-1549（2015）01-0067-04

10．11863／j．suse．2015．01．16

2014-06-06

国家自然科学基金资助项目（11171311）；河南省自然科学基金项目（132300410351）

宋瑞丽（1978-），女，河南新野人，讲师，硕士，主要从事偏微分方程方面的研究，（E-mail）srli070911＠sina.com