一种从粗到精逐步细化的变尺度光栅投影测量方法

王选择，吴雅君，何 涛

引言

光栅投影测量法根据变形光栅图像中像素的灰度值变化，解算出代表物体高度的相位信息，经由相位展开和系统标定获得物体的三维信息［1－2］。因此，对光栅条纹的相位处理是获取高精度测量结果的重要环节。

相位处理方法主要有傅里叶变换法［3］和相移法［4］。前者对表面存在台阶和边缘位置测量会产生频谱拓延，且计算量大。后者通过对投影光栅进行移相，由相移公式计算相位，对于台阶的测量存在高度限制［5－6］。同时，相移法得到的仅是包裹相位，还需进行解包裹运算。解包裹算法一般根据包裹相位图特性解包，如基于统计滤波法［7］、基于可靠性法［8－10］等，要求空间相位具有连续性，对于表面高度存在突变物体的测量，容易出现“拉线”问题［11］。

为了不受台阶高度限制，同时保证解相位高分辨率，提出一种逐步细化的变尺度光栅投影测量方法，通过衔接算法，直接获取高分辨率的相位信息。

1 光栅条纹的设计

1.1 设计原理

光栅投影测量法一般采用正弦光栅进行投影，投影光栅表达为

式中：（u，v）为投影面像素点坐标；I（u，v）为（u，v）点灰度值；I0为背景光强；IA为调制强度；θ（u，v）为光栅相位；u0为投影面中心点横坐标。投影仪分辨率为8位，即28＝256，变化范围为0～255，故取其中间值叠加一定偏差量作为光强值，取I0＝128，IA＝127。

上式中T为周期长度，T越小，条纹越细密，分辨率越高。故传统相移法多采用单组尺寸较细的光栅测量包裹相位，求解绝对相位还需进行解包裹，而常规解包裹容易受遮挡、台阶等因素影响，导致成像相位非连续化，针对该问题，提出多组尺寸呈倍数的条纹扫描思想，以获取连续的相位场。

1.2 光栅条纹的设计特点

已知投影仪规格为960pixel×1 280pixel，实验设计5组平行于Y方向的条纹，T依次为1 280 pixel、160pixel、80pixel、40pixel与20pixel，即像素周期数T′分别为1、8、16、32、64。每组光栅条纹之间满足：中心行像素点灰度值是以中心列为原点的余弦形式，不同像素周期的每组条纹中心相位均为0相位。

对于粗条纹T1＝1 280，θ1具有唯一性，且相位值在（－π，π）之间。对于细条纹，以T2＝160为例，θ2值不唯一，相位值分布在（－8π，8π）之间。由于每组条纹相位的中心相位一致，相移步长一致，细条纹的相位是对粗条纹相位的细化放大，θ1、θ2满足一定的线性关系：

根据（3）式，得到不同尺寸条纹中每一像素点的映射关系，将多组离散相位场衔接得到连续相位场，攻克了传统条纹处理方法中相位场非连续的问题。

2 相移扫描方法

已知投影光栅分布形式，那么变形光栅光强表达式为：I（x，y）＝I′0＋I′Acos［φ（x，y）］，忽略随机噪声，该方程就已包含了I′0、I′A、φ（x，y）3个未知数。因此，需要对投影光栅进行移相来增加常相位，获取多幅变形光栅图，联立方程求解相位场。

因此移相次数必须至少为3次，同时：1）相移光栅图越多，测量精度越高；2）采集图像数量越多，测量速度越慢。综合考虑采用16步相移，每组光栅条纹进行16次相移投影扫描，扫描方法如（4）式，扫描流程如图1所示。对于n组条纹，共需投影16×n次，得到16×n幅变形光栅图，为准确得到每点相位提供了条件。

图1 相移扫描流程图Fig.1 Flow chart of phase shift scanning

3 相位提取算法

3.1 包裹相位的简化求解

若用传统相移公式求16步相移包裹相位，计算繁琐且速度慢。针对以上问题，提出简化傅里叶变换法求解。若采样长度为T，采样数量为n，对信号Acos（ωt＋φ）作傅里叶变换，即是分别用周期的正余弦离散信号与之相乘。又因为傅里叶变换具有正交性，因此在信号频率已知的情况下，求该信号的相位，仅需构造同频率的正余弦函数，分别与该信号相乘，求反正切函数值，即可得到包裹相位值。

已知具有16步相移的光栅投影是在一个周期中变化，即信号频率已知。对于某一像素点，由16幅相移图可以求出该点发生移相的16个灰度值zi。包裹相位可由下式求出：

该算法利用了傅里叶变换的思想，仅需16步乘法加法运算，简化计算；预先求出构造的正余弦函数值，提高了计算速度。

3.2 基于误差最小原则的绝对相位逐级估算方法

进行平板扫描实验，每组条纹得到16幅变形光栅图。取变形光栅图中某一行的像素点，求解出各像素点的包裹相位如图2，为不同像素周期T′下同一行像素点的包裹相位，对于T′＝1的光栅条纹，如图2中①位置，在整个测量范围内具有唯一性，故其包裹相位即为绝对相位φ1（x，y）＝φ1（x，y）；对于T′＝8的光栅条纹，从图中锯齿线的多相交点可以看出，此位置不唯一，包裹相位不等于绝对相位，联系位置①，选取位置②作为T′＝8的绝对相位。

图2 各周期包裹相位图Fig.2 Wrapped phase image of different periods

由以上分析，可得绝对相位φ（x，y）＝φ（x，y）＋2kπ，式中（x，y）为变形光栅图中投影点（u，v）对应坐标点；φ（x，y）表示包裹相位值；k为（x，y）点所处的周期次数。提出用长周期条纹包裹相位φ（x，y）来估算短周期条纹绝对相位φ（x，y）。

以T1＝1 280，T2＝160两种周期宽度不同条纹为例。T1＝8T2，理论上（3）式的包裹相位关系满足8φ1（x，y）＝φ2（x，y）＋2kπ，实际过程中考虑误差的影响，根据误差最小的原则：

式中，［］为取整运算。

利用φ1（x，y）估算φ2（x，y），对短周期T2条纹绝对相位的估算为对于T3＝80的光栅条纹，利用φ2（x，y）估算

φ3（x，y）。由于T2＝2T3，其绝对相位的估算为

同理可以估算出其他几种周期更短的条纹绝对相位。由此得到了被测表面每一点高度细化的绝对相位，减少了空间噪声与量化误差的影响。

4 实验及误差分析

实验在暗室中进行，将量程为0～100的投影仪亮度调整为60。利用光栅投影测量系统，对平板进行投影扫描，扫描速度为30Hz，其中3组条纹如图3所示。

图3 平板扫描实验结果Fig.3 Flat scanning experiment results

取平板上某一行的像素点，在5组光栅条纹投影条件下，求该行每一像素点的绝对相位值φi（x，y），并分别由T′＝1、8、16、32的光栅绝对相位直接推测T′＝64的光栅相位值。求出每一像素点推测值与绝对相位的差值，作为推测误差。推测误差的标准差反映了数据离散程度，故可认为是估算精度（如表1）。

表1 推测误差 radTable 1 Estimation error

将T′＝64条纹的绝对相位值作为标准相位，对该相位场进行二次曲线拟合（如图4），在绝对相位（－64π，64π）的变化范围内，拟合标准差为0.096 63rad，达到了较高精度的解相位结果。

图4 T′＝64条纹解相位及拟合误差结果Fig.4 Unwrapping phase and fitting error of T′＝64

实验得出：投影光栅尺寸越细化，分辨率越高，测得的绝对相位越准确。32周期的估算精度比直接由T′＝1推测T′＝64估算精度提高了97.11%。同时，由以上实验结果可以看出，从T′＝1直接跃迁到T′＝64是可行的，这是由于本实验处于较理想的光照条件。因此在实际光照条件好的情况下，仅需要2组条纹进行扫描即可。对于照明条件不理想的情况，可以取多组（3组及3组以上）尺寸不同的光栅来获取较高的测量精度。

如图4所示，拟合存在一个正弦误差。这是由于实验中噪声和投影过程中非线性等因素的影响，投影光栅并不满足标准正弦分布，导致了相位求取的误差。针对该问题，需要对投影出的光栅条纹非正弦性进行校正。具体可采用二次拟合法：第一次拟合，将所有投影点参与正弦拟合，寻找合理的斜率加权误差阈值，剔除误差大的点；第二次拟合，将剔除粗大误差后的有效点进行正弦拟合，由该正弦曲线求取初相位，从而提高了相位的拟合精度。

5 结论

基于经典相移法，提出变尺度光栅投影测量方法，解决了传统条纹处理方法中相位场非连续的问题，基于误差最小原则实现了对绝对相位的逐级估算。通过实验，验证了该方法可以直接求取较高精度的绝对相位值，并且针对不同光照条件给出了设计条纹组数的建议。

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